Какая область значений имеет функция y=sinx-5cosx? Найти множество значений функции y=1-8cos^2 x sin^2 x. Доказать

Для начала рассмотрим первую задачу. Нам нужно найти область значений функции \( y = \sin(x) - 5\cos(x) \).

Область значений функции - это множество значений, которые функция может принимать. Для того, чтобы найти область значений данной функции, мы можем проанализировать поведение синуса и косинуса функций.

Синус и косинус функции являются периодическими функциями, и их значения лежат в диапазоне от -1 до 1. Таким образом, максимальное значение синуса равно 1, а минимальное значение косинуса равно -1.

Теперь давайте рассмотрим функцию \( y = \sin(x) - 5\cos(x) \). Мы знаем, что максимальное значение синуса равно 1, а минимальное значение косинуса равно -1. Теперь подставим эти значения в функцию:

\[ y_{max} = \sin(x) - 5\cos(x) = 1 - 5(-1) = 1 + 5 = 6 \]
\[ y_{min} = \sin(x) - 5\cos(x) = 1 - 5(1) = 1 - 5 = -4 \]

Таким образом, область значений функции \( y = \sin(x) - 5\cos(x) \) это множество всех значений от -4 до 6.

Теперь рассмотрим вторую задачу. Нам нужно найти множество значений функции \( y = 1 - 8\cos^2(x)\sin^2(x) \).

Для этого нужно знать значения косинуса и синуса функций в квадрате. Значения косинуса и синуса в квадрате лежат в диапазоне от 0 до 1.

Теперь подставим эти значения в функцию:

\[ y_{max} = 1 - 8(1)(1) = 1 - 8 = -7 \]
\[ y_{min} = 1 - 8(0)(0) = 1 - 0 = 1 \]

Таким образом, множество значений функции \( y = 1 - 8\cos^2(x)\sin^2(x) \) это множество всех значений от -7 до 1.

Наконец, перейдем к третьей задаче. Нам нужно доказать, что функция \( y = \frac{\cos(x)}{1.5 - \sin(x)} \) ограничена.

Чтобы доказать, что функция ограничена, нам нужно найти верхнюю и нижнюю границы значений функции.

Мы уже знаем, что значения косинуса находятся между -1 и 1, а значения синуса могут быть от -1 до 1. Значения, которые находятся в знаменателе -1.5 + синуса могут быть от -2.5 до -0.5.

Теперь перейдем к проанализированию значения функции:

\[ y_{max} = \frac{\cos(x)}{-1.5 + 1} = \frac{\cos(x)}{-0.5} = -2\cos(x) \]
\[ y_{min} = \frac{\cos(x)}{-1.5 - 1} = \frac{\cos(x)}{-2.5} = -0.4\cos(x) \]

Мы посчитали максимальное и минимальное значение функции, и у нас есть диапазон значений. Наша функция ограничена сверху и снизу, так как синус и косинус ограничены сверху и снизу.

Таким образом, мы доказали, что функция \( y = \frac{\cos(x)}{1.5 - \sin(x)} \) ограничена.