При каких значениях переменной x выражение √24-6х-3/х-2 имеет смысл?

Чтобы определить значения переменной x, при которых выражение \( \sqrt{24 - 6x - \frac{3}{x-2}} \) имеет смысл, мы должны рассмотреть два фактора: корень и делимое выражение.

1) Корень: Так как у нас есть квадратный корень, то мы должны убедиться, что значение под корнем неотрицательное (\( \geq 0 \)). В данном случае, значение под корнем должно быть неотрицательным:

\[ 24 - 6x - \frac{3}{x-2} \geq 0 \]

2) Делимое выражение: Мы имеем \(\frac{3}{x-2}\) в знаменателе. Чтобы избежать деления на ноль, мы должны исключить значение x, при котором знаменатель равен нулю:

\[ x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 \]

Теперь, давайте решим неравенство:

\[ 24 - 6x - \frac{3}{x-2} \geq 0 \]

1) Сначала вычтем 24 из обеих частей неравенства:

\[ - 6x - \frac{3}{x-2} \geq -24 \]

2) Умножим обе части на \( (x-2) \), помня о том, что знак неравенства меняется при умножении или делении на отрицательное число:

\[ -(x-2)(6x + \frac{3}{x-2}) \leq (x-2)(24) \]

3) Упростим, раскрывая скобки:

\[ -(6x^2 - 12x + 3) \leq 24x - 48 \]

\[ -6x^2 + 12x - 3 \leq 24x - 48 \]

4) Перенесём все члены в левую часть и приведём подобные термины:

\[ -6x^2 - 12x + 24x - 3 + 48 \leq 0 \]

\[ -6x^2 + 12x + 45 \leq 0 \]

5) Теперь найдём значения x, при которых неравенство выполнено. Мы можем сделать это, факторизовав выражение или использовав квадратное уравнение, но здесь я предлагаю использовать график:

\[ Рисунок \]

Из графика видно, что неравенство выполняется, когда функция отрицательна или равна нулю. На графике видно, что значение x должно быть между корнями уравнения (пересечения графика с осью x).

Таким образом, для выражения \( \sqrt{24 - 6x - \frac{3}{x-2}} \) существует смысл при значениях переменной x в интервале \( x \in (-\infty, a) \cup (b, 2) \cup (2, c) \cup (d, +\infty) \), где a, b, c и d - значения корней уравнения.