Какая лампа перегорела в шестиламповом радиоприемнике, где каждая лампа различная? Чтобы исправить отказ, случайно

Для решения данной задачи нам необходимо создать ряд распределения и функцию распределения для случайной величины X - количества перегоревших ламп. Предположим, что в радиоприемнике всего 6 ламп, каждая из которых может перегореть независимо от остальных с вероятностью \(p\).

Для начала, давайте определим множество возможных значений для X. Количество перегоревших ламп может варьироваться от 0 до 6, так как ни одна лампа не может перегореть или все 6 ламп могут перегореть одновременно.

Теперь составим ряд распределения. Для каждого значения количества перегоревших ламп определим вероятность этого события. Поскольку каждая лампа может перегореть независимо от других, вероятность перегорания одной лампы равна \(p\), а вероятность того, что она не перегорит, равна \(1-p\).

Ряд распределения для X будет выглядеть следующим образом:
\[
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
X & P(X) \\
\hline
0 & (1-p)^6 \\
\hline
1 & 6p(1-p)^5 \\
\hline
2 & 15p^2(1-p)^4 \\
\hline
3 & 20p^3(1-p)^3\\
\hline
4 & 15p^4(1-p)^2\\
\hline
5 & 6p^5(1-p)\\
\hline
6 & p^6\\
\hline
\end{tabular}
\]

Теперь перейдем к функции распределения. Для каждого значения X мы будем вычислять сумму вероятностей событий, когда X принимает значения от 0 до этого значения.

Функция распределения для X будет выглядеть следующим образом:
\[
F(X) =
\begin{cases}
(1-p)^6, & \text{если } X \leq 0 \\
(1-p)^6 + 6p(1-p)^5, & \text{если } 0 < X \leq 1 \\
(1-p)^6 + 6p(1-p)^5 + 15p^2(1-p)^4, & \text{если } 1 < X \leq 2 \\
(1-p)^6 + 6p(1-p)^5 + 15p^2(1-p)^4 + 20p^3(1-p)^3, & \text{если } 2 < X \leq 3 \\
(1-p)^6 + 6p(1-p)^5 + 15p^2(1-p)^4 + 20p^3(1-p)^3 + 15p^4(1-p)^2, & \text{если } 3 < X \leq 4 \\
(1-p)^6 + 6p(1-p)^5 + 15p^2(1-p)^4 + 20p^3(1-p)^3 + 15p^4(1-p)^2 + 6p^5(1-p), & \text{если } 4 < X \leq 5 \\
1, & \text{если } X > 5 \\
\end{cases}
\]

Теперь найдем числовые характеристики случайной величины X.

Математическое ожидание (среднее значение) для X можно найти, умножив каждое значение X на соответствующую вероятность P(X) и просуммировав все полученные произведения:
\[
E(X) = 0 \cdot (1-p)^6 + 1 \cdot 6p(1-p)^5 + 2 \cdot 15p^2(1-p)^4 + 3 \cdot 20p^3(1-p)^3 + 4 \cdot 15p^4(1-p)^2 + 5 \cdot 6p^5(1-p) + 6 \cdot p^6
\]

Дисперсия случайной величины X определяется как среднее значение квадрата отклонения X от его математического ожидания:
\[
\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2
\]

Где \(E(X^2)\) можно найти, умножив каждое значение \(X^2\) на соответствующую вероятность \(P(X)\) и просуммировав все полученные произведения.

Таким образом, описывая ряд распределения и функцию распределения для случайной величины X, а также находим математическое ожидание и дисперсию, мы можем предоставить полную информацию о рассматриваемой случайной величине.