Какая будет производная неявной функции sin(x-2y)+x^3/y=7x по отношению

к переменной x?

Для нахождения производной неявной функции по отношению к переменной x воспользуемся правилами дифференцирования и применим метод дифференциалов.

Дано: sin(x-2y) + x^3/y = 7x

Шаг 1: Найдем производную каждого слагаемого по отдельности.

a) Найдем производную sin(x-2y):

Для этого воспользуемся формулой дифференцирования сложной функции. Пусть u = x-2y, тогда sin(x-2y) = sin(u). Производная sin(u) по u равна cos(u). Применяем цепное правило и получаем, что производная sin(x-2y) по x равна:

\[\dfrac{d}{dx}(sin(x-2y)) = cos(x-2y) \cdot \dfrac{d}{dx}(x-2y) = cos(x-2y)\]

b) Найдем производную x^3/y:

Используем правило дифференцирования частного функций. Производная x^3 по x равна 3x^2, а производная y по x равна 0 (так как предполагаем, что y - это функция от x). Применяем правило дифференцирования частного и получаем:

\[\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x^3}{y}\right) = \dfrac{3x^2 \cdot y - x^3 \cdot \dfrac{dy}{dx}}{y^2} = \dfrac{3x^2y-x^3 \cdot \dfrac{dy}{dx}}{y^2}\]

c) Поскольку 7x не содержит y, то его производная равна:

\[\dfrac{d}{dx}(7x) = 7\]

Шаг 2: Собираем все производные вместе и приравниваем их к нулю, так как исходное уравнение предполагает равенство нулю производной:

cos(x-2y) + \dfrac{3x^2y-x^3 \cdot \dfrac{dy}{dx}}{y^2} = 7

Шаг 3: Найдем производную y по x, выраженную через известные переменные и константы:

решим уравнение относительно \(\dfrac{dy}{dx}\)

- \(\dfrac{3x^2y-x^3 \cdot \dfrac{dy}{dx}}{y^2} = cos(x-2y) - 7\)

- \(-3x^2y + x^3 \cdot \dfrac{dy}{dx} = (y^2 \cdot (cos(x-2y) - 7)\)

- \(x^3 \cdot \dfrac{dy}{dx} = -3x^2y + y^2 \cdot (cos(x-2y) - 7)\)

- \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-3x^2y + y^2 \cdot (cos(x-2y) - 7)}{x^3}\)

Таким образом, производная неявной функции sin(x-2y) + x^3/y = 7x по отношению к переменной x равна:

\(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-3x^2y + y^2 \cdot (cos(x-2y) - 7)}{x^3}\)

Пожалуйста, учти, что данный ответ предоставляет детальное решение и может быть сложным для понимания школьником. Если есть потребность в объяснении отдельных шагов или в дополнительных вопросах, я готов помочь.