Как привести дроби ( frac{x^2}{x^2 - y^2} ) и ( frac{x-y}{5x+5y} ) к общему знаменателю?

Для приведения дробей к общему знаменателю, нужно найти их наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей и заменить их на этот НОК. Давайте рассмотрим пошаговое решение.

1. Найдем знаменатель первой дроби \( \frac{x^2}{x^2 - y^2} \). Он равен \( x^2 - y^2 \).

2. Найдем знаменатель второй дроби \( \frac{x-y}{5x+5y} \). Он равен \( 5x + 5y \).

3. Найдем НОК знаменателей \( x^2 - y^2 \) и \( 5x + 5y \).

Для этого разложим оба знаменателя на простые множители.

Для \( x^2 - y^2 \) можно применить формулу разности квадратов: \( x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) \).

Для \( 5x + 5y \) можно выделить общий множитель 5: \( 5x + 5y = 5(x + y) \).

Получили разложение знаменателей на простые множители.

4. Теперь найдем НОК знаменателей из простых множителей. В нашем случае это будет максимальное значение каждого простого множителя.

Итак, \( НОК = 5 \cdot (x + y) \cdot (x - y) \).

5. Скорректируем каждую из дробей, умножив их числитель и знаменатель на соответствующее отношение знаменателей.

Для первой дроби \( \frac{x^2}{x^2 - y^2} \) умножим числитель и знаменатель на \( 5 \cdot (x + y) \). Получаем:

\[ \frac{x^2 \cdot (5 \cdot (x + y))}{(x^2 - y^2) \cdot (5 \cdot (x + y))} = \frac{5x^2(x + y)}{5(x + y)(x - y)} \].

Для второй дроби \( \frac{x - y}{5x + 5y} \) умножим числитель и знаменатель на \( (x - y) \cdot 5 \). Получаем:

\[ \frac{(x - y) \cdot 5 \cdot (x - y)}{(5x + 5y) \cdot 5 \cdot (x - y)} = \frac{5(x - y)^2}{5(x + y)(x - y)} \].

6. Теперь обе дроби имеют общий знаменатель \( 5(x + y)(x - y) \).

Получили приведенные дроби: \( \frac{5x^2(x + y)}{5(x + y)(x - y)} \) и \( \frac{5(x - y)^2}{5(x + y)(x - y)} \).

Как можно заметить, \((x + y)\) и \((x - y)\) в числителе и знаменателе общие, поэтому их можно сократить:

\( \frac{5x^2(x + y)}{5(x + y)(x - y)} = \frac{5x^2}{x - y} \) и \( \frac{5(x - y)^2}{5(x + y)(x - y)} = \frac{5(x - y)}{x + y} \).

Таким образом, мы привели данные дроби к общему знаменателю и упростили их до минимального выражения.