Как составить уравнение кривой, проходящей через точку (5, -2) и имеющей угловой коэффициент dy/dx=1/2y в каждой точке

Хорошо, чтобы составить уравнение кривой, которая проходит через точку (5, -2) и имеет угловой коэффициент \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}y \) в каждой точке касания, мы будем использовать метод разделения переменных для дифференциальных уравнений. Давайте начнем с пошагового решения:

Шаг 1: Выразить дифференциальное уравнение в соответствующей форме
Для начала, заменим \( \frac{dy}{dx} \) на \(\frac{1}{2}y\). Получим уравнение \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}y\).

Шаг 2: Разделить переменные
Мы разделим переменные, переместив все переменные \(y\) в левую часть уравнения, а переменные \(x\) в правую часть. Получим следующее уравнение: \(\frac{1}{y}dy = \frac{1}{2}dx\).

Шаг 3: Интегрирование
Теперь мы проинтегрируем обе стороны уравнения. Сначала проинтегрируем левую сторону. Интеграл от \(\frac{1}{y}dy\) будет \(\ln|y|\). Остаются правая сторона. Интеграл от \(\frac{1}{2}dx\) будет \(\frac{1}{2}x + C\), где \(C\) - постоянная интегрирования.

Шаг 4: Найти константу
Для того чтобы определить значение константы \(C\), мы воспользуемся начальным условием, которое указывает, что кривая проходит через точку (5, -2). Подставим \(x = 5\) и \(y = -2\) в уравнение и найдем \(C\).

Получаем следующее уравнение:
\[\ln|y| = \frac{1}{2}x + C\]
\[\ln|-2| = \frac{1}{2}(5) + C\]
\[\ln2 = \frac{5}{2} + C\]

Теперь найдем значение \(C\):
\[\ln2 - \frac{5}{2} = C\]

Шаг 5: Записать окончательное уравнение
Теперь, когда у нас есть значение константы \(C\), мы можем записать окончательное уравнение. Подставим найденное значение \(C\) в уравнение:
\[\ln|y| = \frac{1}{2}x + \ln2 - \frac{5}{2}\]

Приведем полученное уравнение к экспоненциальной форме:
\[|y| = e^{\frac{1}{2}x + \ln2 - \frac{5}{2}}\]

Таким образом, уравнение кривой, проходящей через точку (5, -2) и имеющей угловой коэффициент \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}y\) в каждой точке касания, будет:
\[y = \pm e^{\frac{1}{2}x + \ln2 - \frac{5}{2}}\]