Как решить уравнение 7х^2 - 6х - 9 = -х^2 + 14х

Хорошо, давайте решим данное уравнение пошагово.

1. Сначала перенесем все переменные в одну часть уравнения, а все числа в другую, чтобы получить уравнение в виде \( Ax^2 + Bx + C = 0 \). Для этого сложим все слагаемые справа и вычтем их из обеих сторон уравнения. Получим:
\[ 7x^2 - 6x - 9 + x^2 - 14x = 0 \].

2. Сгруппируем подобные слагаемые:
\[ (7x^2 + x^2) + (-6x - 14x) - 9 = 0 \].

3. Произведем суммирование:
\[ 8x^2 - 20x - 9 = 0 \].

4. Уравнение стало квадратным, поэтому мы можем применить формулу дискриминанта, чтобы найти корни этого уравнения. Формула дискриминанта имеет вид:
\[ D = b^2 - 4ac \], где a, b и c - это коэффициенты уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \).

5. Применим формулу дискриминанта для нашего уравнения. У нас a = 8, b = -20 и c = -9. Подставим значения в формулу:
\[ D = (-20)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-9) \].
\[ D = 400 + 288 \].
\[ D = 688 \].

6. Теперь мы можем найти корни уравнения, используя формулу корней квадратного уравнения. Формула имеет вид:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \].

7. Подставим значения коэффициентов и значение дискриминанта в формулу:
\[ x = \frac{-(-20) \pm \sqrt{688}}{2 \cdot 8} \].
\[ x = \frac{20 \pm \sqrt{688}}{16} \].
\[ x = \frac{20 \pm \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 43}}{16} \].
\[ x = \frac{20 \pm 4\sqrt{43}}{16} \].

8. Воспользуемся упрощением выражения:
\[ x = \frac{5}{4} \pm \frac{\sqrt{43}}{4} \].

Таким образом, решением данного уравнения являются два числа:
\[ x_1 = \frac{5}{4} + \frac{\sqrt{43}}{4} \]
и
\[ x_2 = \frac{5}{4} - \frac{\sqrt{43}}{4} \].

Эти значения можно оставить такими или округлить до нужной точности, в зависимости от указаний задачи.