1) Сalculate: 3cos^2 395°+sin^2 997°+3sin^2 755°+cos^2 803°=? 2) Find the length of side a of a right triangle if

Хорошо, давайте разберем каждую задачу по очереди:

1) В этой задаче вам требуется вычислить сумму нескольких тригонометрических выражений. Для начала, вспомним основное тригонометрическое тождество: $${\cos }^2(\theta )+{\sin }^2(\theta )=1.$$

Теперь мы можем использовать это тождество, чтобы преобразовать каждое из заданных выражений:

$$\begin{array}{r}3{\cos }^2({395}^{\circ })+{\sin }^2({997}^{\circ })+3{\sin }^2({755}^{\circ })+{\cos }^2({803}^{\circ })\\ =3(1-{\sin }^2({395}^{\circ }))+{\sin }^2({997}^{\circ })+3{\sin }^2({755}^{\circ })+(1-{\sin }^2({803}^{\circ }))\\ =3-3{\sin }^2({395}^{\circ })+{\sin }^2({997}^{\circ })+3{\sin }^2({755}^{\circ })+1-{\sin }^2({803}^{\circ }).\end{array}$$

Далее, мы можем использовать следующее тригонометрическое тождество: ${\sin }^2(\theta )=1-{\cos }^2(\theta )$, чтобы преобразовать каждое из оставшихся выражений:

$$\begin{array}{r}=3-3{\sin }^2({395}^{\circ })+(1-{\cos }^2({997}^{\circ }))+3{\sin }^2({755}^{\circ })+1-{\sin }^2({803}^{\circ })\\ =3-3{\sin }^2({395}^{\circ })+1-{\cos }^2({997}^{\circ })+3{\sin }^2({755}^{\circ })+1-{\sin }^2({803}^{\circ })\\ =5-3{\sin }^2({395}^{\circ })-{\cos }^2({997}^{\circ })+3{\sin }^2({755}^{\circ })-{\sin }^2({803}^{\circ }).\end{array}$$

Теперь у нас остались только выражения без функции $\cos$. Мы можем использовать то же тригонометрическое тождество: ${\sin }^2(\theta )=1-{\cos }^2(\theta )$, чтобы заменить ${\sin }^2$ в каждом из оставшихся выражений:

$$\begin{array}{r}=5-3(1-{\cos }^2({395}^{\circ }))-{\cos }^2({997}^{\circ })+3(1-{\cos }^2({755}^{\circ }))-(1-{\cos }^2({803}^{\circ }))\\ =5-3+3{\cos }^2({395}^{\circ })-{\cos }^2({997}^{\circ })+3-3{\cos }^2({755}^{\circ })+1-{\cos }^2({803}^{\circ })\\ =6+3{\cos }^2({395}^{\circ })-{\cos }^2({997}^{\circ })-3{\cos }^2({755}^{\circ })-{\cos }^2({803}^{\circ }).\end{array}$$

Итак, окончательный ответ: $6+3{\cos }^2({395}^{\circ })-{\cos }^2({997}^{\circ })-3{\cos }^2({755}^{\circ })-{\cos }^2({803}^{\circ })$.

2) Для этой задачи вам необходимо найти длину стороны $a$ прямоугольного треугольника, если известно, что сторона $b$ равна 21, а смежный острый угол $\alpha$ равен 30°.

В прямоугольном треугольнике, угол $\alpha$ является углом между сторонами $a$ и $b$, а функциями тригонометрии, связанными с этим углом, являются синус и косинус.

Мы можем использовать определение синуса и косинуса:

$$\sin (\alpha )=\frac{против}{гипотенуза},\cos (\alpha )=\frac{прилежащая}{гипотенуза}.$$

В нашем случае, у нас есть значение прилежащей стороны ($b$) и запрашивается значение противоположной стороны ($a$). Из этого следует, что мы должны использовать функцию тангенса. Определение тангенса:

$$\tan (\alpha )=\frac{против}{прилежащая}.$$

Мы можем использовать это тождество для нахождения значения стороны $a$:

$$\tan (\alpha )=\frac{против}{прилежащая}\Rightarrow \tan ({30}^{\circ })=\frac{a}{21}.$$

Теперь мы должны найти значение тангенса угла 30°. Для этого мы можем воспользоваться таблицей тригонометрических значений или калькулятором. Значение тангенса угла 30° равно $0.5774$.

Теперь мы можем решить уравнение:

$$0.5774=\frac{a}{21}.$$

Умножая обе стороны на 21, получим:

$$0.5774\times 21=a\Rightarrow a\approx 12.12.$$

Итак, длина стороны $a$ прямоугольного треугольника равна примерно 12.12.