1) Сalculate: 3cos^2 395°+sin^2 997°+3sin^2 755°+cos^2 803°=? 2) Find the length of side a of a right triangle if

Хорошо, давайте разберем каждую задачу по очереди:

1) В этой задаче вам требуется вычислить сумму нескольких тригонометрических выражений. Для начала, вспомним основное тригонометрическое тождество: \[\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1.\]

Теперь мы можем использовать это тождество, чтобы преобразовать каждое из заданных выражений:

\[
\begin{align*}
3\cos^2(395^\circ) + \sin^2(997^\circ) + 3\sin^2(755^\circ) + \cos^2(803^\circ) \\
= 3(1 - \sin^2(395^\circ)) + \sin^2(997^\circ) + 3\sin^2(755^\circ) + (1 - \sin^2(803^\circ)) \\
= 3 - 3\sin^2(395^\circ) + \sin^2(997^\circ) + 3\sin^2(755^\circ) + 1 - \sin^2(803^\circ).
\end{align*}
\]

Далее, мы можем использовать следующее тригонометрическое тождество: \(\sin^2(\theta) = 1 - \cos^2(\theta)\), чтобы преобразовать каждое из оставшихся выражений:

\[
\begin{align*}
= 3 - 3\sin^2(395^\circ) + (1 - \cos^2(997^\circ)) + 3\sin^2(755^\circ) + 1 - \sin^2(803^\circ) \\
= 3 - 3\sin^2(395^\circ) + 1 - \cos^2(997^\circ) + 3\sin^2(755^\circ) + 1 - \sin^2(803^\circ) \\
= 5 - 3\sin^2(395^\circ) - \cos^2(997^\circ) + 3\sin^2(755^\circ) - \sin^2(803^\circ).
\end{align*}
\]

Теперь у нас остались только выражения без функции \(\cos\). Мы можем использовать то же тригонометрическое тождество: \(\sin^2(\theta) = 1 - \cos^2(\theta)\), чтобы заменить \(\sin^2\) в каждом из оставшихся выражений:

\[
\begin{align*}
= 5 - 3(1 - \cos^2(395^\circ)) - \cos^2(997^\circ) + 3(1 - \cos^2(755^\circ)) - (1 - \cos^2(803^\circ)) \\
= 5 - 3 + 3\cos^2(395^\circ) - \cos^2(997^\circ) + 3 - 3\cos^2(755^\circ) + 1 - \cos^2(803^\circ) \\
= 6 + 3\cos^2(395^\circ) - \cos^2(997^\circ) - 3\cos^2(755^\circ) - \cos^2(803^\circ).
\end{align*}
\]

Итак, окончательный ответ: \(6 + 3\cos^2(395^\circ) - \cos^2(997^\circ) - 3\cos^2(755^\circ) - \cos^2(803^\circ)\).

2) Для этой задачи вам необходимо найти длину стороны \(a\) прямоугольного треугольника, если известно, что сторона \(b\) равна 21, а смежный острый угол \(\alpha\) равен 30°.

В прямоугольном треугольнике, угол \(\alpha\) является углом между сторонами \(a\) и \(b\), а функциями тригонометрии, связанными с этим углом, являются синус и косинус.

Мы можем использовать определение синуса и косинуса:

\[
\sin(\alpha) = \frac{против}{гипотенуза}, \quad \cos(\alpha) = \frac{прилежащая}{гипотенуза}.
\]

В нашем случае, у нас есть значение прилежащей стороны (\(b\)) и запрашивается значение противоположной стороны (\(a\)). Из этого следует, что мы должны использовать функцию тангенса. Определение тангенса:

\[
\tan(\alpha) = \frac{против}{прилежащая}.
\]

Мы можем использовать это тождество для нахождения значения стороны \(a\):

\[
\tan(\alpha) = \frac{против}{прилежащая} \Rightarrow \tan(30^\circ) = \frac{a}{21}.
\]

Теперь мы должны найти значение тангенса угла 30°. Для этого мы можем воспользоваться таблицей тригонометрических значений или калькулятором. Значение тангенса угла 30° равно \(0.5774\).

Теперь мы можем решить уравнение:

\[
0.5774 = \frac{a}{21}.
\]

Умножая обе стороны на 21, получим:

\[
0.5774 \times 21 = a \Rightarrow a \approx 12.12.
\]

Итак, длина стороны \(a\) прямоугольного треугольника равна примерно 12.12.