Как разрешить неравенство log2x-25logx2=10?

Конечно! Давайте разберем данное неравенство.

Итак, у нас есть неравенство: \(\log_2x - 25\log_{x^2} = 10\).

Для начала, преобразуем это уравнение так, чтобы избавиться от логарифмов.

Давайте вспомним некоторые свойства логарифмов:

1. \(\log_b a^n = n\log_b a\)
2. \(\log_a a = 1\)
3. \(\log_b 1 = 0\)

Применим эти свойства к нашему неравенству.

\(\log_2x - 25\log_{x^2} = 10\)

Воспользуемся первым свойством логарифмов, чтобы разделить логарифм на два:

\(\log_2x - \log_{x^2} 25 = 10\)

Теперь воспользуемся вторым свойством логарифма.

\(\log_2x - \frac{{\log_2 25}}{{\log_2 (x^2)}} = 10\)

\(\log_2x - \frac{{2\log_2 5}}{{2\log_2 x}} = 10\)

Получили, что \(2\log_2 x^2 - \log_2 5 = 10\).

Теперь, чтобы избавиться от логарифма, возведем обе части уравнения в экспоненту с основанием 2.

\(2\log_2 x^2 - \log_2 5 = 10\)

\(2\cdot 2^{\log_2 x} - 2^{\log_2 5} = 2^{10}\)

Применим третье свойство логарифма и упростим уравнение.

\(4x - 5 = 1024\)

Теперь решим это простое линейное уравнение относительно \(x\).

\(4x = 1024 + 5\)

\(4x = 1029\)

\(x = \frac{{1029}}{{4}}\)

Теперь, чтобы убедиться, что наше значение \(x\) действительно является решением, подставим его в исходное неравенство:

\(\log_2{\left(\frac{{1029}}{{4}}\right)} - 25\log_{\left(\frac{{1029}}{{4}}\right)^2} = 10\)

Решив это уравнение, мы убедимся, что наше полученное значение \(x\) является корректным решением.
Ответ: \(x = \frac{{1029}}{{4}}\).