Как разрешить неравенство log2x-25logx2=10?

Question

Математика: Как разрешить неравенство log2x-25logx2=10?

Sofya · Accepted Answer

Конечно! Давайте разберем данное неравенство.

Итак, у нас есть неравенство:

\log_{2} x - 25 \log_{x^{2}} = 10

.

Для начала, преобразуем это уравнение так, чтобы избавиться от логарифмов.

Давайте вспомним некоторые свойства логарифмов:

1.

\log_{b} a^{n} = n \log_{b} a

2.

\log_{a} a = 1

3.

\log_{b} 1 = 0

Применим эти свойства к нашему неравенству.

\log_{2} x - 25 \log_{x^{2}} = 10

Воспользуемся первым свойством логарифмов, чтобы разделить логарифм на два:

\log_{2} x - \log_{x^{2}} 25 = 10

Теперь воспользуемся вторым свойством логарифма.

\log_{2} x - \frac{\log_{2} 25}{\log_{2} (x^{2})} = 10

\log_{2} x - \frac{2 \log_{2} 5}{2 \log_{2} x} = 10

Получили, что

2 \log_{2} x^{2} - \log_{2} 5 = 10

.

Теперь, чтобы избавиться от логарифма, возведем обе части уравнения в экспоненту с основанием 2.

2 \log_{2} x^{2} - \log_{2} 5 = 10

2 \cdot 2^{\log_{2} x} - 2^{\log_{2} 5} = 2^{10}

Применим третье свойство логарифма и упростим уравнение.

4 x - 5 = 1024

Теперь решим это простое линейное уравнение относительно

x

.

4 x = 1024 + 5

4 x = 1029

x = \frac{1029}{4}

Теперь, чтобы убедиться, что наше значение

x

действительно является решением, подставим его в исходное неравенство:

\log_{2} (\frac{1029}{4}) - 25 \log_{{(\frac{1029}{4})}^{2}} = 10

Решив это уравнение, мы убедимся, что наше полученное значение

x

является корректным решением.
Ответ:

x = \frac{1029}{4}

.