Как рассчитать площадь области, ограниченной графиками функций y=2sinx и y=0?

Хорошо, давайте рассчитаем площадь области, ограниченной графиками функций \(y = 2\sin(x)\) и \(y = 0\).

Сначала, чтобы найти точки пересечения графиков, приравняем уравнение \(y = 2\sin(x)\) к нулю:
\[2\sin(x) = 0\]

Решим это уравнение. Поскольку \(\sin(x)\) равно нулю при \(x = 0\), то точки пересечения графиков будут иметь вид \((0, 0)\), так как в этой точке график функции \(y = 2\sin(x)\) пересекает ось Ox.

Теперь нам нужно найти другую точку пересечения. Для этого рассмотрим уравнение \(y = 2\sin(x)\) и приравняем \(y\) к нулю:
\[2\sin(x) = 0\]

Применим свойство синуса, согласно которому \(\sin(x) = 0\) при \(x = k\pi\), где \(k\) – целое число. Таким образом, чтобы найти точки пересечения графиков в других местах, нужно найти значения \(x\), для которых \(2\sin(x) = 0\).

Решим это уравнение:
\[2\sin(x) = 0\]
\[\sin(x) = 0\]

Из свойства синуса мы знаем, что \(\sin(x) = 0\) при \(x = k\pi\), где \(k\) – целое число. Значит, точки пересечения графиков находятся во всех точках, где \(x\) является кратным числом \(\pi\).

Теперь мы можем построить графики обоих функций. График функции \(y = 2\sin(x)\) представляет собой синусоиду, проходящую через точку (0,0) и периодом \(2\pi\). График функции \(y = 0\) представляет собой прямую линию, проходящую через ось 0X.

Когда графики пересекаются, они образуют закрытую область между ними. Мы можем рассчитать площадь этой области, используя определенный интеграл.

Площадь области \(S\) между графиками функций \(y = 2\sin(x)\) и \(y = 0\) можно найти с использованием следующего определенного интеграла:
\[S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx\]

Где \(f(x)\) – это верхняя функция, в данном случае \(y = 2\sin(x)\), а \(g(x)\) – это нижняя функция, \(y=0\).

Нам нужно найти значения \(a\) и \(b\) – это значения \(x\) для точек пересечения графиков. Мы уже нашли, что точки пересечения графиков находятся при \(x = 0\) и \(x = k\pi\) для всех целых чисел \(k\).

Теперь мы можем рассчитать площадь области между двумя графиками, используя определенный интеграл:
\[S = \int_{0}^{k\pi} (2\sin(x) - 0) \, dx\]

Мы можем упростить это выражение:
\[S = \int_{0}^{k\pi} 2\sin(x) \, dx\]

Вычислим этот интеграл. Интеграл синуса составляет \(-\cos(x)\), поэтому:
\[S = -2\cos(x)\bigg|_{0}^{k\pi}\]

Подставим значения верхнего и нижнего пределов:
\[S = -2\cos(k\pi) - (-2\cos(0))\]

С учетом того, что \(\cos(k\pi) = (-1)^k\) и \(\cos(0) = 1\), получим:
\[S = -2(-1)^k - (-2)\]

Таким образом, мы нашли площадь области между графиками функций \(y = 2\sin(x)\) и \(y = 0\), ограниченной от 0 до \(k\pi\):
\[S = 2((-1)^k - 1)\]

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять, как рассчитать площадь данной области. Если у вас возникнут еще какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать их.