Как раскомпоновать вектор а по векторам

Чтобы раскомпоновать вектор а по векторам, мы должны разложить его на две компоненты параллельную и перпендикулярную данному вектору. Давайте рассмотрим подробное пошаговое решение.

Шаг 1: Определение базисных векторов
Предположим, что у нас есть два вектора, обозначим их как вектор "в" и вектор "н". Вектор "н" должен быть ненулевым и будет служить вектором, по которому мы будем разлагать вектор "а". Вектор "в" будет служить базисным вектором, параллельным вектору "н".

Шаг 2: Нахождение компоненты вектора "а" параллельно вектору "в"
Для того чтобы найти компоненту вектора "а" параллельно вектору "в", мы можем использовать проекцию вектора "а" на вектор "в". Для этого воспользуемся формулой проекции вектора "а" на вектор "в":

\[\text{Пр}_в(\text{а}) = \frac{\text{а} \cdot \text{в}}{\left \| \text{в} \right \|^{2}} \cdot \text{в}\]

где \(\text{а} \cdot \text{в}\) - скалярное произведение векторов "а" и "в", а \(\left \| \text{в} \right \|^{2}\) - квадрат длины вектора "в".

Шаг 3: Нахождение компоненты вектора "а" перпендикулярно вектору "в"
Компонента вектора "а" перпендикулярно вектору "в" вычисляется как разность вектора "а" и компоненты вектора "а" параллельно вектору "в":

\[\text{Ком}_в(\text{а}) = \text{а} - \text{Пр}_в(\text{а})\]

Шаг 4: Окончательное разложение вектора "а"
Теперь, имея компоненту вектора "а" параллельно вектору "в" и компоненту вектора "а" перпендикулярно вектору "в", мы можем окончательно разложить вектор "а".

\[\text{а} = \text{Пр}_в(\text{а}) + \text{Ком}_в(\text{а})\]

Таким образом, мы успешно раскомпоновали вектор "а" по векторам "в" и "н". Обратите внимание, что вектор "н" должен быть ненулевым и не должен быть коллинеарным с вектором "в", чтобы получить адекватное разложение.