Яка є сума перших чотирьох членів послідовності, яка є геометричною прогресією, якщо різниця між четвертим і другим

Данные задачи требуют нахождения суммы первых четырех членов геометрической прогрессии. Для решения задачи мы будем использовать известные формулы для геометрической прогрессии.

Первоначально, давайте определим формулу общего члена геометрической прогрессии. Формула общего члена геометрической прогрессии имеет вид:

\[a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}\]

где:
\(a_n\) - \(n\)-й член прогрессии
\(a_1\) - первый член прогрессии
\(r\) - соотношение прогрессии
\(n\) - номер члена прогрессии

Теперь давайте преобразуем условие задачи в уравнение, используя данную формулу:

Из условия задачи имеем:

\[
\begin{align*}
a_4 - a_2 &= -48 \\
a_3 - a_5 &= -144
\end{align*}
\]

Теперь запишем значения членов прогрессии в соответствие с формулой общего члена прогрессии:

\[
\begin{align*}
a_4 &= a_1 \cdot r^{(4-1)} \\
a_2 &= a_1 \cdot r^{(2-1)} \\
a_3 &= a_1 \cdot r^{(3-1)} \\
a_5 &= a_1 \cdot r^{(5-1)}
\end{align*}
\]

Учитывая эти значения, мы можем заменить в уравнении их соответствующими значениями и упростить уравнения:

\[
\begin{align*}
a_1 \cdot r^{(4-1)} - a_1 \cdot r^{(2-1)} &= -48 \\
a_1 \cdot r^{(3-1)} - a_1 \cdot r^{(5-1)} &= -144
\end{align*}
\]

После упрощения получим:

\[
\begin{align*}
a_1 \cdot r^3 - a_1 \cdot r &= -48 \\
a_1 \cdot r^2 - a_1 \cdot r^4 &= -144
\end{align*}
\]

Теперь поделим первое уравнение на второе, чтобы избавиться от \(a_1\):

\[
\frac{{a_1 \cdot r^3 - a_1 \cdot r}}{{a_1 \cdot r^2 - a_1 \cdot r^4}} = \frac{{-48}}{{-144}}
\]

Упростив полученное уравнение, получим:

\[
\frac{{r^2 \cdot (r - 1)}}{{r \cdot (r^2 - 1)}} = \frac{1}{3}
\]

Теперь решим полученное уравнение относительно \(r\). Умножим обе стороны на знаменатель, чтобы избавиться от дроби:

\[
r^2 \cdot (r - 1) = \frac{r \cdot (r^2 - 1)}{3}
\]

После упрощения получим:

\[
3r^3 - 3r^2 = r^3 - r
\]

Приравняем уравнение к нулю для дальнейшего решения:

\[
3r^3 - 3r^2 - r^3 + r = 0
\]

Объединим подобные члены:

\[
2r^3 - 3r^2 + r = 0
\]

Теперь факторизуем полученное уравнение:

\[
r \cdot (2r^2 - 3r + 1) = 0
\]

Решим полученное квадратное уравнение \(2r^2 - 3r + 1 = 0\) с использованием формулы дискриминанта:

\[
D = b^2 - 4ac
\]

\[
D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1
\]

Согласно формуле дискриминанта, так как \(D > 0\), уравнение имеет два корня. Найдем корни:

\[
r_1 = \frac{{-b + \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{3 + 1}}{{4}} = 1
\]

\[
r_2 = \frac{{-b - \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{3 - 1}}{{4}} = \frac{{1}}{{2}}
\]

Итак, мы получили два возможных значения соотношения \(r\): \(r = 1\) или \(r = \frac{{1}}{{2}}\).

Теперь, когда мы знаем значения соотношения \(r\), мы можем найти первый член прогрессии \(a_1\) из первого уравнения:

Для \(r = 1\):

\[
a_1 \cdot 1^{(4-1)} - a_1 \cdot 1^{(2-1)} = -48
\]

\[
a_1 - a_1 = -48
\]

\[
0 = -48
\]

Уравнение не имеет решений при \(r = 1\).

Для \(r = \frac{1}{2}\):

\[
a_1 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{(4-1)} - a_1 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{(2-1)} = -48
\]

\[
a_1 \cdot \frac{1}{8} - a_1 \cdot \frac{1}{2} = -48
\]

\[
\frac{a_1}{8} - \frac{a_1}{2} = -48
\]

\[
\frac{a_1}{8} = \frac{a_1}{2} - \frac{a_1}{2} = \frac{a_1}{2}
\]

Умножим обе стороны на 8:

\[
a_1 = 4a_1
\]

Уравнение не имеет решений при \(r = \frac{1}{2}\).

Таким образом, мы не можем найти первый член прогрессии \(a_1\), что означает, что не можем найти сумму первых четырех членов геометрической прогрессии. Возможно, данное уравнение имеет ошибку или недостаточно информации для решения.