Как привести дроби t^2/t^2-u^2 и t-u/7t+7u к одинаковому знаменателю?

Чтобы привести дроби \(\frac{t^2}{t^2-u^2}\) и \(\frac{t-u}{7t+7u}\) к одинаковому знаменателю, мы должны найти их общий знаменатель. Для этого стоит рассмотреть выражение \(t^2-u^2\).

Заметим, что \(t^2-u^2\) - это разность квадратов, которую мы можем факторизовать, используя формулу \(a^2-b^2 = (a+b)(a-b)\). Таким образом, мы можем записать \(t^2-u^2\) как \((t+u)(t-u)\).

Теперь мы знаем, что \(\frac{t^2}{t^2-u^2}\) можно записать как \(\frac{t^2}{(t+u)(t-u)}\).

Используя то же самое знание о разности квадратов, мы можем переписать дробь \(\frac{t-u}{7t+7u}\) следующим образом: \(\frac{t-u}{7(t+u)}\).

Теперь, чтобы привести оба выражения к одинаковому знаменателю, у нас есть несколько вариантов.

Первый вариант - привести оба выражения к знаменателю \((t+u)(t-u)(7t+7u)\), используя произведение данных знаменателей.

Переходим к первому выражению: \(\frac{t^2}{(t+u)(t-u)}\). Чтобы добиться знаменателя \((t+u)(t-u)(7t+7u)\), мы должны умножить числитель и знаменатель на \(7t+7u\):

\[
\frac{t^2}{(t+u)(t-u)} \cdot \frac{7(t+u)}{7(t+u)} = \frac{7t^2+7tu}{(t+u)(t-u)(7t+7u)}
\]

Перейдем ко второму выражению: \(\frac{t-u}{7(t+u)}\). Чтобы добиться знаменателя \((t+u)(t-u)(7t+7u)\), мы должны умножить числитель и знаменатель на \((t-u)\):

\[
\frac{t-u}{7(t+u)} \cdot \frac{(t-u)}{(t-u)} = \frac{(t-u)^2}{7(t+u)(t-u)} = \frac{t^2 - 2tu + u^2}{7(t+u)(t-u)}
\]

Теперь оба выражения имеют одинаковый знаменатель \((t+u)(t-u)(7t+7u)\). Мы успешно привели данные дроби к общему знаменателю.