Как переформулировать неравенство (x-5)(3x-1)/9-x>

Чтобы переформулировать данное неравенство, давайте начнем с упрощения исходного выражения. Мы можем начать с раскрытия скобок:

\[
\begin{align*}
(x-5)(3x-1)/(9-x) &> 0 \\
(3x^2-16x+5)/(9-x) &> 0 \\
\end{align*}
\]

Теперь давайте решим данное неравенство пошагово.

Шаг 1: Найдите точки, где выражение равно нулю или неопределено. Для этого приравняем числитель к нулю и найдем, когда \(9-x\) равно нулю:

\[
\begin{align*}
3x^2-16x+5 &= 0 \\
(3x-1)(x-5) &= 0 \\
\end{align*}
\]

Отсюда получаем две возможные точки, в которых выражение равно нулю: \(x = \frac{1}{3}\) и \(x = 5\).

Помните, что мы не можем допустить, чтобы \(9-x\) был равен нулю, так как это приведет к делению на ноль.

Шаг 2: Постройте таблицу знаков для каждого интервала. Рассмотрим три интервала: \((-\infty, 9)\), \((9, \frac{1}{3})\) и \((\frac{1}{3}, \infty)\).

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& (-\infty, 9) & (9, \frac{1}{3}) & (\frac{1}{3}, \infty) \\
\hline
3x^2-16x+5 & + & - & + \\
\hline
9-x & + & + & - \\
\hline
(x-5)(3x-1)/(9-x) & - & + & - \\
\hline
\end{array}
\]

Шаг 3: Определите, где выражение больше нуля.

В данном случае, неравенство \( (x-5)(3x-1)/(9-x) > 0 \) выполняется при \( x \in (9, \frac{1}{3}) \).

Итак, переформулированное неравенство будет выглядеть:

\[ x \in (9, \frac{1}{3}) \]

Подытоживая, мы решили данное неравенство и получили интервал, в котором \( x \) удовлетворяет его условию.