Как определить скорость потока воды в широкой части трубы переменного сечения, если радиус узкой части составляет треть

Чтобы определить скорость потока воды в широкой части трубы переменного сечения, учитывая радиус узкой части и разницу давлений между широкой и узкой частями трубы, мы можем использовать уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости.

Уравнение Бернулли гласит:
\[ P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2 \]

Где:
\( P_1 \) и \( P_2 \) - давление в начале и конце трубы, соответственно,
\( \rho \) - плотность жидкости,
\( v_1 \) и \( v_2 \) - скорость потока жидкости в начале и конце трубы, соответственно,
\( g \) - ускорение свободного падения,
\( h_1 \) и \( h_2 \) - высота уровня жидкости над выбранным опорным уровнем в начале и конце трубы, соответственно.

В этой задаче, радиус узкой части трубы составляет треть радиуса широкой части, что можно записать как:
\( r_1 = \frac{1}{3} r_2 \), где \( r_1 \) - радиус узкой части, а \( r_2 \) - радиус широкой части.

Также, у нас есть разница давлений между широкой и узкой частями трубы, обозначим её как \( \Delta P \).

Мы можем выбрать опорный уровень так, чтобы высота \( h_1 \) была равна нулю. Тогда \( h_2 \) будет выражать относительную высоту широкой части трубы над опорным уровнем.

Таким образом, мы можем модифицировать уравнение Бернулли следующим образом:
\[ P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g \cdot 0 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g \cdot h_2 \]

У нас есть \( P_1 \) и \( P_2 \) - разность давлений, в данном случае \( \Delta P \), и \( r_1 \) и \( r_2 \) - соотношение радиусов.

Давайте разделим уравнение на \( \rho g \) и перепишем его, учитывая известные значения:
\[ \frac{\Delta P}{\rho g} = \frac{P_2 - P_1}{\rho g} = \frac{1}{2} v_2^2 - \frac{1}{2} v_1^2 + h_2 \]

Теперь мы можем заменить \( v_1 \) и \( v_2 \) используя закон сохранения массы. Поскольку площадь поперечного сечения трубы изменяется, скорость потока жидкости в узкой и широкой частях трубы будут различными.

По закону сохранения массы:
\[ A_1 \cdot v_1 = A_2 \cdot v_2 \]

Где \( A_1 \) и \( A_2 \) - площади поперечного сечения узкой и широкой частей трубы, соответственно.
Так как \( A_1 = \pi r_1^2 \) и \( A_2 = \pi r_2^2 \), мы можем записать:
\[ \pi r_1^2 \cdot v_1 = \pi r_2^2 \cdot v_2 \]
\[ r_1^2 \cdot v_1 = r_2^2 \cdot v_2 \]

Теперь мы можем выразить \( v_1 \) через \( v_2 \):
\[ v_1 = \frac{r_2^2}{r_1^2} \cdot v_2 \]

Подставим эту формулу в наше уравнение, чтобы получить окончательное выражение:
\[ \frac{\Delta P}{\rho g} = \frac{1}{2} v_2^2 - \frac{1}{2} \left(\frac{r_2^2}{r_1^2} \cdot v_2\right)^2 + h_2 \]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \( v_2 \) и получить скорость потока в широкой части трубы переменного сечения. Также не забудьте перевести ответ в необходимые единицы измерения, если они были предоставлены в условии задачи.