Как найти выражение для градиента скорости на определенном расстоянии

Question

Алгебра: Как найти выражение для градиента скорости на определенном расстоянии x от оси трубы при ламинарном течении вязкой жидкости? Учитывая, что слои жидкости имеют различную скорость, зависящую

Artem · Accepted Answer

Для нахождения выражения для градиента скорости (

\nabla v

) при ламинарном течении вязкой жидкости, мы используем дифференцирование уравнения скорости (

v (x) = \frac{Δ p}{4 n l} \cdot (r^{2} - x^{2})

), где

r

,

n

,

Δ p

и

l

- константы.

Применим оператор градиента

\nabla

к уравнению скорости:

\nabla v (x) = \frac{\partial v (x)}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial v (x)}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial v (x)}{\partial z} \vec{k}

Так как движение происходит только вдоль оси трубы (ось

x

), все производные, кроме

\frac{\partial v (x)}{\partial x}

, обращаются в нуль.

Таким образом, градиент скорости упрощается до:

\nabla v (x) = \frac{\partial v (x)}{\partial x} \vec{i}

Теперь давайте найдем производную

\frac{\partial v (x)}{\partial x}

:

\frac{\partial v (x)}{\partial x} = - \frac{Δ p}{4 n l} \cdot 2 x

Подставим это обратно в уравнение для градиента скорости:

\nabla v (x) = - \frac{Δ p}{4 n l} \cdot 2 x \cdot \vec{i}

Таким образом, выражение для градиента скорости на расстоянии

x

от оси трубы (

\nabla v (x)

) при ламинарном течении вязкой жидкости равно:

\nabla v (x) = - \frac{Δ p}{2 n l} \cdot x \cdot \vec{i}

где

\vec{i}

- единичный вектор вдоль оси

x

.

Обратите внимание, что градиент скорости направлен вдоль оси трубы и его величина пропорциональна расстоянию

x

от оси трубы.

Как найти выражение для градиента скорости на определенном расстоянии x от оси трубы при ламинарном течении вязкой

Artem

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!