Как найти выражение для градиента скорости на определенном расстоянии x от оси трубы при ламинарном течении вязкой

Для нахождения выражения для градиента скорости (\(\nabla v\)) при ламинарном течении вязкой жидкости, мы используем дифференцирование уравнения скорости (\(v(x) = \frac{{\Delta p}}{{4nl}} \cdot (r^2 - x^2)\)), где \(r\), \(n\), \(\Delta p\) и \(l\) - константы.

Применим оператор градиента \(\nabla\) к уравнению скорости:

\[
\nabla v(x) = \frac{{\partial v(x)}}{{\partial x}}\vec{i} + \frac{{\partial v(x)}}{{\partial y}}\vec{j} + \frac{{\partial v(x)}}{{\partial z}}\vec{k}
\]

Так как движение происходит только вдоль оси трубы (ось \(x\)), все производные, кроме \(\frac{{\partial v(x)}}{{\partial x}}\), обращаются в нуль.

Таким образом, градиент скорости упрощается до:

\[
\nabla v(x) = \frac{{\partial v(x)}}{{\partial x}}\vec{i}
\]

Теперь давайте найдем производную \(\frac{{\partial v(x)}}{{\partial x}}\):

\[
\frac{{\partial v(x)}}{{\partial x}} = -\frac{{\Delta p}}{{4nl}} \cdot 2x
\]

Подставим это обратно в уравнение для градиента скорости:

\[
\nabla v(x) = -\frac{{\Delta p}}{{4nl}} \cdot 2x \cdot \vec{i}
\]

Таким образом, выражение для градиента скорости на расстоянии \(x\) от оси трубы (\(\nabla v(x)\)) при ламинарном течении вязкой жидкости равно:

\[
\nabla v(x) = -\frac{{\Delta p}}{{2nl}} \cdot x \cdot \vec{i}
\]

где \(\vec{i}\) - единичный вектор вдоль оси \(x\).

Обратите внимание, что градиент скорости направлен вдоль оси трубы и его величина пропорциональна расстоянию \(x\) от оси трубы.