Как найти все значения x, которые являются корнями уравнения 3^(8x^2 - 6x - 13) - 3^(4x^2 - 3x - 7

Для решения данной задачи нам потребуется применить свойство эквивалентных уравнений, а именно: если две степени с одинаковым основанием равны, то их показатели степеней также равны. Также нам понадобится свойство эквивалентności функции степени. Давайте разберемся пошагово:

Шаг 1: Приведение уравнения к виду \(a^m = a^n\). В нашем случае \(a = 3\), а \(m = 8x^2 - 6x - 13\) и \(n = 4x^2 - 3x - 7\).

\[
3^{8x^2 - 6x - 13} - 3^{4x^2 - 3x - 7} = 0
\]

Шаг 2: Преобразование уравнения с одинаковым основанием.

\[
3^{8x^2 - 6x - 13} = 3^{4x^2 - 3x - 7}
\]

Шаг 3: Применение свойства эквивалентных уравнений. Поскольку основание уравнения одинаковое, равенство выполняется, если показатели степеней равны.

\[
8x^2 - 6x - 13 = 4x^2 - 3x - 7
\]

Шаг 4: Приведение уравнения к виду, где все члены находятся в левой части уравнения.

\[
8x^2 - 4x^2 - 6x + 3x - 13 + 7 = 0
\]

\[
4x^2 - 3x - 6 = 0
\]

Шаг 5: Решение квадратного уравнения. Можно воспользоваться формулой дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\) и формулой корней квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).

В данном случае, \(a = 4\), \(b = -3\), и \(c = -6\).

\[
D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-6) = 9 + 96 = 105
\]

\[
x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{105}}{2 \cdot 4}
\]

\[
x = \frac{3 \pm \sqrt{105}}{8}
\]

Шаг 6: Финальный ответ. Значениями \(x\), являющимися корнями уравнения \(3^{8x^2 - 6x - 13} - 3^{4x^2 - 3x - 7} = 0\), являются \(\frac{3 + \sqrt{105}}{8}\) и \(\frac{3 - \sqrt{105}}{8}\).