Контрольная работа на тему Квадратичная функция: график и свойства . Вариант #1 1) Найдите координаты вершины параболы

Добро пожаловать! Давайте решим эту контрольную работу по теме "Квадратичная функция: график и свойства". Начнем с первого вопроса.

1) а) Чтобы найти координаты вершины и корни функции уравнения \(y = x^2 - 5\), нужно выполнить следующие действия:

Для начала, заметим, что данная функция имеет вид квадратного трехчлена, где коэффициент \(a = 1\), коэффициент \(b = 0\), а коэффициент \(c = -5\).

Формула для нахождения координат вершины квадратичной функции имеет вид:
\[x_v = -\frac{b}{2a}\]
\[y_v = f(x_v)\]

Подставим значения коэффициентов в формулу:
\[x_v = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0\]
\[y_v = f(0) = 0^2 - 5 = -5\]

Таким образом, координаты вершины параболы: \(V(0, -5)\).

Чтобы найти корни функции, нужно решить уравнение \(y = x^2 - 5\) относительно \(x\). Для этого положим \(y\) равным нулю и решим полученное уравнение:

\[x^2 - 5 = 0\]

Факторизуем это уравнение:
\[(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) = 0\]

Таким образом, корни функции \(x^2 - 5\) равны \(\sqrt{5}\) и \(-\sqrt{5}\).

б) Перейдем к следующему уравнению \(y = 2(x + 5)^2 - 8\). Запишем коэффициенты в удобном виде: \(a = 2\), \(b = 10\) и \(c = -8\).

Аналогично предыдущему пункту, найдем координаты вершины функции:
\[x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2 \cdot 2} = -\frac{5}{2}\]
\[y_v = f(x_v) = 2\left(-\frac{5}{2} + 5\right)^2 - 8 = 2 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 8 = -\frac{11}{2}\]

Координаты вершины параболы: \(V\left(-\frac{5}{2}, -\frac{11}{2}\right)\).

Чтобы найти корни функции, решим уравнение \(2(x + 5)^2 - 8 = 0\):
\[2(x + 5)^2 - 8 = 0\]

Разделим уравнение на 2:
\[(x + 5)^2 - 4 = 0\]

Раскроем квадрат:
\[x^2 + 10x + 25 - 4 = 0\]
\[x^2 + 10x + 21 = 0\]

Факторизуем это уравнение:
\[(x + 3)(x + 7) = 0\]

Таким образом, корни функции \(2(x + 5)^2 - 8\) равны -3 и -7.

2) Чтобы построить график функции \(y = -x^2 + 2x + 3\), создадим таблицу значений, подставляя различные значения \(x\) и найдем соответствующие значения \(y\).

x | y
------|-----
-2 | 9
-1 | 6
0 | 3
1 | 2
2 | 3
3 | 6

Полученные значения поможет нам построить график.

Примечание: Чтобы визуализировать график, пространство чата недостаточно, поэтому я не смогу его нарисовать здесь. Но вы можете самостоятельно построить график на координатной плоскости, используя полученные значения.

Далее, чтобы определить значения \(x\), при которых функция принимает положительные и отрицательные значения, нам нужно проанализировать график функции:

- Функция будет принимать положительные значения, когда точки графика находятся выше оси \(x\).
- Функция будет принимать отрицательные значения, когда точки графика находятся ниже оси \(x\).

Из графика видно, что функция принимает положительные значения при \(x < 0\) и \(x > 2\), а отрицательные значения при \(0 < x < 2\).

Также, чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции, нужно проанализировать наклон графика.

- Функция возрастает, когда график идет вверх.
- Функция убывает, когда график идет вниз.

Из графика видно, что функция возрастает на интервале \(x < 1\) и убывает на интервале \(x > 1\).

Наименьшее значение, которое принимает функция, можно найти по координате y-координате вершины. В данном случае, наименьшее значение равно -3.

3) Наконец, чтобы найти значения коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\) для функции \(y = ax^2 + bx + c\) из уравнения, необходимо сравнить формулу функции с уравнением и сопоставить коэффициенты.

В уравнении \(y = ax^2 + bx + c\) можно заметить, что коэффициент \(a\) отвечает за старший член квадратичной функции, \(b\) отвечает за линейный член квадратичной функции, а коэффициент \(c\) отвечает за свободный член.

Таким образом, значения коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\) для функции \(y = -x^2 + 2x + 3\) равны:
\(a = -1\),
\(b = 2\),
\(c = 3\).

Надеюсь, эти пояснения помогли вам в решении контрольной работы! Если у вас есть еще вопросы или вам нужна дополнительная помощь, пожалуйста, сообщите мне.