Как найти решение уравнения log0,5(cosx+sin2x+4)?

Для начала разберемся, что означает запись "log0,5". Это логарифм по основанию 0,5. В общем виде, логарифм по основанию \(a\) от числа \(b\) обозначается как \(\log_a(b)\) или просто \(\log(b)\), если основание не указано.

Итак, у нас есть уравнение \(\log_{0,5}(\cos x+\sin^2 x+4)\). Наша задача - найти значения \(x\), для которых это уравнение истинно.

Для начала, давайте определим, когда аргумент логарифма может быть взят положительным. В нашем случае, аргументом является выражение \(\cos x+\sin^2 x+4\).

\(\cos x\) - это косинус угла \(x\), а \(\sin^2 x\) - это квадрат синуса угла \(x\). Оба этих значения всегда находятся в пределах от -1 до 1 включительно. Если мы возведем \(\sin x\) в квадрат, то получим положительное значение, так как квадрат отрицательного числа всегда положителен. Таким образом, сумма \(\cos x+\sin^2 x\) всегда будет положительной.

Теперь, когда мы знаем, что аргумент логарифма положителен, мы можем перейти к решению уравнения.

Для нахождения решений, нам необходимо найти такие значения \(x\), при которых

\[\cos x+\sin^2 x+4=0,5^y,\]

где \(y\) - неизвестное значение.

Давайте решим это уравнение шаг за шагом.

\(\cos x+\sin^2 x+4=0,5^y\)

Так как \(\cos x\) и \(\sin^2 x\) всегда положительны, то \(0,5^y\) также должно быть положительным. Другими словами, значение \(y\) должно быть положительным.

Перенесем 4 на другую сторону уравнения:

\(\cos x+\sin^2 x=0,5^y-4\)

Мы знаем, что \(\cos x\) и \(\sin^2 x\) находятся в пределах от 0 до 1, поэтому значение выражения \(\cos x+\sin^2 x\) также будет находиться в пределах от 0 до 2.

Таким образом, у нас есть следующее условие: \(0 \leq 0,5^y-4 \leq 2\).

Решим это неравенство:

\[
\begin{align*}
0 &\leq 0,5^y-4 \leq 2 \\
4 &\leq 0,5^y \leq 6 \\
\end{align*}
\]

Чтобы найти значение \(y\), мы возьмем логарифм по основанию 0,5 от обеих частей:

\[
\begin{align*}
\log_{0,5}4 &\leq \log_{0,5}0,5^y \leq \log_{0,5}6 \\
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
y &\geq \log_{0,5}4 \approx 2,3219 \\
y &\leq \log_{0,5}6 \approx 4,8074 \\
\end{align*}
\]

Таким образом, решение уравнения \(\log_{0,5}(\cos x+\sin^2 x+4)\) - это множество всех значений \(x\), при которых \(2,3219 \leq y \leq 4,8074\). Мы используем значение \(y\) для определения аргумента логарифма, а аргумент логарифма должен быть положителен.

Надеюсь, эта детальная информация поможет вам понять и решить данное уравнение. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!