12. а) Какие из следующих чисел являются рациональными: корень из 49, корень из 1,96, корень из 18, -корень

12. а) Чтобы определить, являются ли заданные числа рациональными, нужно проверить, могут ли они быть представлены в виде дроби, где числитель и знаменатель — целые числа. Давайте посмотрим на каждое число по отдельности:

- Корень из 49: Это число равно 7, и оно может быть представлено как дробь 7/1. Значит, корень из 49 является рациональным числом.

- Корень из 1,96: Чтобы узнать, является ли это число рациональным, найдем его десятичное представление. Корень из 1,96 ≈ 1,4. Поскольку 1,4 не может быть представлено в виде дроби целых чисел, корень из 1,96 не является рациональным числом.

- Корень из 18: Аналогично, найдем десятичное представление этого числа. Корень из 18 ≈ 4,242640687... . Поскольку это число не может быть представлено в виде дроби целых чисел, корень из 18 не является рациональным числом.

- -Корень из 7: Данное число имеет отрицательное значение, поэтому нельзя представить его в виде дроби целых чисел. -Корень из 7 не является рациональным числом.

- 0: Данное число 0 представляет собой целое число и, следовательно, является рациональным числом.

- 0,6161...: Это число заметно повторяющейся десятичной дробью. Представим его как дробь x: 0,6161... = x. Заметим, что 100x = 61,61... Путем вычитания x из 100x, получаем 99x = 61. Делим 61 на 99 и получаем 61/99. Значит, 0,6161... является рациональным числом.

- -2,3(74): Чтобы представить это число как рациональное, давайте обозначим его как x: -2,3(74) = x. Так как период 74 состоит из двух цифр, мы можем представить это в виде дроби x = -2,3 + 0,01 * 74 / (1 - 0,01) = -2,3 + 0,74 / 0,99 = -2,3 + 74 / 99. Это число может быть представлено в виде дроби, значит, оно является рациональным.

- (1+корень из 17)(корень из 17 - 1): Раскроем скобки: (1+корень из 17)(корень из 17 - 1) = корень из 17 + 1 × корень из 17 - корень из 17 - 1 × корень из 17 = 0. Это нулевое число, и, как мы знаем, ноль является рациональным числом.

- 0,2022002220...: Похоже, это бесконечно повторяющаяся десятичная дробь. Напишем x = 0,2022002220... . Умножим x на 10000, чтобы избавиться от десятичных знаков: 10000x = 2022,002220... . Вычтем x из 10000x: 9999x = 2022. Путем деления 2022 на 9999 мы получим десятичную дробь, которая может быть представлена в виде дроби целых чисел. Таким образом, 0,2022002220... является рациональным числом.

б) Давайте приведем выражение \(\sqrt{27a^3} + 12b^4 - 15a - 15b^2\) к более простому виду.

Заметим, что \(\sqrt{27a^3}\) можно упростить так: \(\sqrt{27a^3} = \sqrt{3^3 \cdot (a^2)^2 \cdot a} = \sqrt{3^3} \cdot \sqrt{(a^2)^2} \cdot \sqrt{a} = 3a^2 \sqrt{a}\).

Теперь, подставив полученное выражение в исходное, мы получим: \(3a^2 \sqrt{a} + 12b^4 - 15a - 15b^2\).

в) Чтобы сравнить \(5\sqrt{3}\) и \(2\sqrt{x}\), давайте предположим, что \(x\) является положительным числом.

Тогда мы можем сравнивать их, возведя оба числа в квадрат: \((5\sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75\) и \((2\sqrt{x})^2 = 4 \cdot x = 4x\).

Теперь сравним результаты: мы хотим узнать, когда \(75 > 4x\) или, иначе говоря, когда \(x < \frac{75}{4}\).

Таким образом, при условии, что \(x\) является положительным числом, \(5\sqrt{3}\) больше, чем \(2\sqrt{x}\), когда \(x < \frac{75}{4}\).