Как найти решение уравнения 2arcsin2x-arcsinx-6=0?

Давайте решим уравнение пошагово.

Шаг 1: Преобразуем уравнение. Начнем с замены переменной. Пусть \(2x = t\), тогда уравнение примет вид:

\[2\arcsin^2(t) - \arcsin(t) - 6 = 0\]

Шаг 2: Замените \(\arcsin(t)\) на \(y\) для упрощения записи:

\[2y^2 - y - 6 = 0\]

Шаг 3: Решим полученное квадратное уравнение. Мы можем попробовать разложить его на множители или использовать квадратное уравнение:

\[(2y + 3)(y - 2) = 0\]

Альтернативное решение - можно воспользоваться формулой квадратного уравнения:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Подставляя значения \(a = 2\), \(b = -1\), \(c = -6\) в формулу, получаем:

\[y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot (-6)}}{4}\]

\[y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4}\]

\[y = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{4}\]

\[y = \frac{1 \pm 7}{4}\]

Значения для \(y\): \(y_1 = 2\), \(y_2 = -\frac{3}{2}\).

Шаг 4: Вспомним, что \(y = \arcsin(t)\), и найдем значения для \(t\) с использованием обратной функции синуса:

\(\arcsin(t_1) = 2\), \(\arcsin(t_2) = -\frac{3}{2}\).

Шаг 5: Решим уравнения для \(t_1\) и \(t_2\) с использованием обратной функции синуса:

\[t_1 = \sin(2)\], \[t_2 = \sin\left(-\frac{3}{2}\right)\]

Шаг 6: Решим полученные уравнения для \(t_1\) и \(t_2\):

\[t_1 \approx 0.9093\], \[t_2 \approx -0.9975\]

Шаг 7: Найдем значения для \(x\), учитывая, что мы заменили \(2x\) на \(t\):

\[x_1 = \frac{0.9093}{2}\], \[x_2 = \frac{-0.9975}{2}\]

Шаг 8: Округлим полученные значения для \(x\) до нужной точности:

\[x_1 \approx 0.4547\], \[x_2 \approx -0.4988\]

Ответ: Уравнение \(2\arcsin^2(2x) - \arcsin(2x) - 6 = 0\) имеет два решения: \(x_1 \approx 0.4547\) и \(x_2 \approx -0.4988\).