Как найти наивысшую скорость движения точки, если известен закон ее прямолинейного движения, заданный уравнением

Хорошо, давайте по порядку разберем эту задачу.

Имеется заданное уравнение прямолинейного движения точки: \(s=-\frac{1}{6}t^3+\frac{1}{2}t^2+\frac{1}{2}t+1\), где \(s\) обозначает расстояние, пройденное точкой, а \(t\) - время.

Для нахождения наивысшей скорости движения точки нужно найти максимум скорости. Если закон движения задан уравнением, то скорость можно найти, взяв производную этого уравнения по времени \(t\).

Для начала найдем производную уравнения \(s\) по \(t\):

\[
\frac{ds}{dt} = -\frac{1}{6} \cdot 3t^2 + \frac{1}{2} \cdot 2t + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}t^2 + t + \frac{1}{2}
\]

Теперь у нас есть уравнение для скорости, обозначим его как \(v\):

\[
v = -\frac{1}{2}t^2 + t + \frac{1}{2}
\]

Чтобы найти максимум скорости, нужно найти точку, при которой производная скорости равна нулю. Для этого приравняем производную скорости к нулю и решим получившееся уравнение:

\[
-\frac{1}{2}t^2 + t + \frac{1}{2} = 0
\]

Для решения этого квадратного уравнения можно воспользоваться формулой дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\) и формулами для нахождения корней:

\[
t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}
\]

\[
t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}
\]

Где в данном случае \(a = -\frac{1}{2}\), \(b = 1\), и \(c = \frac{1}{2}\). Теперь найдем значения корней \(t_1\) и \(t_2\):

\[
t_1 = \frac{-1 + \sqrt{1 - 4 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2})}}{2 \cdot (-\frac{1}{2})}
\]

\[
t_2 = \frac{-1 - \sqrt{1 - 4 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2})}}{2 \cdot (-\frac{1}{2})}
\]

После выполнения всех необходимых вычислений получим, что \(t_1 = -0.5\) и \(t_2 = 2\). В данной задаче интерес представляет только положительное время, поэтому отбрасываем значение \(t_1\).

Теперь, чтобы найти наивысшую скорость, подставим значение \(t_2 = 2\) в уравнение скорости:

\[
v = -\frac{1}{2} \cdot (2)^2 + (2) + \frac{1}{2}
\]

Выполнив вычисления, получаем:

\[
v = -\frac{1}{2} + 2 + \frac{1}{2} = 2 \, \text{м/с}
\]

Таким образом, наивысшая скорость движения точки равна 2 м/с.