Как найти корни уравнения 2sin^2x+3cosx=0?

Для начала решим уравнение \(2\sin^2x + 3\cos x = 0\).

Шаг 1: Перепишем данное уравнение, используя тригонометрическую тождества. Мы знаем, что \(\sin^2x = 1 - \cos^2x\). Заменим \(\sin^2x\) в уравнении на это значение и получим: \(2(1 - \cos^2x) + 3\cos x = 0\).

Шаг 2: Раскроем скобки. Умножим каждый член на 2 и получим: \(2 - 2\cos^2x + 3\cos x = 0\).

Шаг 3: Перенесем все члены в левую часть уравнения и получим: \(-2\cos^2x + 3\cos x + 2 = 0\).

Шаг 4: Мы получили квадратное уравнение. Обозначим \(\cos x\) за \(t\). Тогда можно переписать уравнение в виде: \(-2t^2 + 3t + 2 = 0\).

Шаг 5: Решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение вида \(at^2 + bt + c = 0\). Для этого нужно найти корни \(t\), удовлетворяющие условиям \(t_1 \times t_2 = \frac{c}{a}\) и \(t_1 + t_2 = -\frac{b}{a}\).

В нашем случае \(a = -2\), \(b = 3\), \(c = 2\). Подставим эти значения в формулы и найдем корни.

\(\frac{c}{a} = \frac{2}{-2} = -1\)

\(-\frac{b}{a} = -\frac{3}{-2} = \frac{3}{2}\)

Вычислим корни уравнения:

\(t_1 \times t_2 = -1\) и \(t_1 + t_2 = \frac{3}{2}\).

Шаг 6: Теперь мы можем найти значения \(t_1\) и \(t_2\) и подставить их обратно в уравнение \(\cos x = t\) для дальнейших решений.

Шаг 7: Решим первое уравнение \(t_1 \times t_2 = -1\). Просмотрим все пары чисел, сумма которых равна \(\frac{3}{2}\), и произведение равно \(-1\). Видим, что эти числа равны \(-1\) и \(1\).

Шаг 8: Подставим найденные значения в уравнение \(\cos x = t\).

\(\cos x_1 = -1\): Известно, что \(\cos(-\theta) = \cos(\theta)\). Это значит, что \(\cos(\pi) = -1\). Таким образом, первый корень уравнения будет \(-x_1 = x = \pi\).

\(\cos x_2 = 1\): Это является значением, которое удовлетворяет условиям уравнения \(\cos x = t\). Значит, второй корень уравнения будет \(x = \frac{\pi}{2}\).

Итак, корни уравнения \(2\sin^2x + 3\cos x = 0\) равны \(x = \pi\) и \(x = \frac{\pi}{2}\).