Как найти координаты точки на окружности, соответствующие следующим углам: 1.540, 2.450, 3.7π/2, 4.-4π, 5.8.5π?

Чтобы найти координаты точки на окружности, соответствующие заданным углам, воспользуемся понятием тригонометрии и формулой, связывающей угол и координаты на окружности.

1. Для угла \(1.540\) рассмотрим сначала его градусную меру. Для удобства приведем этот угол к градусам, за вычетом полного оборота, чтобы получить значение меньше \(360^\circ\):
\[1.540 - 1 \times 360 = -358.46^\circ\]
Затем переведем градусы в радианы, воспользовавшись соотношением:
\[1^\circ = \frac{\pi}{180}\text{ радиан}\]
Таким образом, угол \(-358.46^\circ\) равен:
\[-358.46 \times \frac{\pi}{180} = -6.26\pi\text{ радиан}\]
Для нахождения координаты точки на окружности, мы используем тригонометрический круг. По определению, координаты точки \(P\) на окружности равны:
\[P(\cos \theta, \sin \theta)\]
где \(\theta\) - угол между лучом, соединяющим начало координат и точку \(P\), и положительным направлением положительной оси \(x\).

Так как угол равен \(-6.26\pi\), он находится в третьей четверти тригонометрического круга. В этой четверти значения функции косинуса являются отрицательными, а синуса положительными. Поэтому координаты точки \(P\) будут:
\[P(\cos(-6.26\pi), \sin(-6.26\pi)) = (-1, 0)\]

2. Точно таким же образом решим вторую задачу с углом \(2.450\) радиан. Начнем с перевода градусов в радианы:
\[2.450 \times \frac{\pi}{180} = 0.043\pi\]
Значение угла \(0.043\pi\) радиан примерно равно \(0.135\) радиан.

Так как угол \(0.135\) находится в первой четверти тригонометрического круга, значения функций косинуса и синуса будут положительными, а значит, координаты точки \(P\) будут:
\[P(\cos(0.135\pi), \sin(0.135\pi)) \approx (0.974, 0.224)\]

3. Для угла \(3.7\pi/2\) нам необходимо перевести его в градусную меру с использованием соотношения:
\[1\text{ радиан} = \frac{180}{\pi}\text{ градусов}\]
\[3.7\pi/2 \times \frac{180}{\pi} = 333.75^\circ\]

Так как угол \(333.75^\circ\) находится в четвертой четверти тригонометрического круга, значения функции косинуса будут отрицательными, а значения функции синуса - положительными. Поэтому координаты точки \(P\) будут:
\[P(\cos(333.75^\circ), \sin(333.75^\circ))\]
Решение данной задачи можно представить в более удобном виде, воспользовавшись часто встречающимся значением угла, равным \(30^\circ\) или \(\pi/6\) радиан. Используя это, получим:
\[333.75^\circ = 330^\circ + 3.75^\circ = 11 \times 30^\circ + 3.75^\circ\]
Известно, что \(\cos(360^\circ + \theta) = \cos(\theta)\) и \(\sin(360^\circ + \theta) = \sin(\theta)\). Таким образом, достаточно найти значения для угла \(3.75^\circ\), который находится в первой четверти тригонометрического круга и для которого уже рассчитаны значения функций косинуса и синуса:
\[P(\cos(3.75^\circ), \sin(3.75^\circ)) \approx (0.992, 0.065)\]

4. Перейдем к следующему углу \(-4\pi\). Этот угол уже находится в форме радиан, поэтому мы можем сразу перейти к его конвертации в градусы:
\[-4\pi \times \frac{180}{\pi} = -720^\circ\]
Так как угол \(-720^\circ\) находится на оси \(x\) с отрицательным направлением, координаты точки \(P\) будут:
\[P(\cos(-720^\circ), \sin(-720^\circ)) = (1, 0)\]

5. Наконец, для угла \(8.5\pi\) мы снова опускаем шаг перевода в градусы, так как угол уже указан в радианах:
\[8.5\pi \times \frac{180}{\pi} = 1530^\circ\]
Так как угол \(1530^\circ\) - это полный оборот окружности плюс \(150^\circ\), он находится в третьей четверти тригонометрического круга. В этой четверти значения функции косинуса являются отрицательными, а значения функции синуса - положительными. Поэтому координаты точки \(P\) будут:
\[P(\cos(150^\circ), \sin(150^\circ))\]
Воспользовавшись часто встречающимся значением угла \(30^\circ\) или \(\pi/6\) радиан, получим:
\[150^\circ = 5 \times 30^\circ\]
Таким образом, мы уже знаем значения функций косинуса и синуса для угла \(150^\circ\):
\[P(\cos(150^\circ), \sin(150^\circ)) = (-0.866, 0.5)\]

Таким образом, координаты точек на окружности, соответствующие данным углам, будут:
1. \((-1, 0)\)
2. \((0.974, 0.224)\)
3. \((0.992, 0.065)\)
4. \((1, 0)\)
5. \((-0.866, 0.5)\)