Как можно вычислить интегралы с использованием метода непосредственного интегрирования или метода подстановки

Конечно! Для решения заданий 1-4 с использованием метода непосредственного интегрирования или метода подстановки, сначала необходимо определить тип интеграла и применить соответствующую методику. Давайте посмотрим на каждое задание по отдельности.

Задание 1:
Вычислить интеграл \(\int x^3 \, dx\).

Для данного интеграла мы можем использовать простую степенную формулу интегрирования. Согласно формуле, интеграл от функции вида \(x^n\) равен \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\). Применяя эту формулу к заданию 1, получаем:
\[
\int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C
\]
где \(C\) - произвольная постоянная.

Задание 2:
Вычислить интеграл \(\int \sin(2x)\, dx\).

В этом случае мы можем использовать метод подстановки. Для этого введем новую переменную \(u\), равную \(2x\). Тогда \(du = 2 \, dx\) и \(dx = \frac{du}{2}\). Заменяя переменные и решая интеграл, получаем:
\[
\int \sin(2x) \, dx = \int \sin(u) \cdot \frac{du}{2} = -\frac{1}{2}\cos(u) + C = -\frac{1}{2}\cos(2x) + C
\]
где \(C\) - произвольная постоянная.

Задание 3:
Вычислить интеграл \(\int \frac{4}{x}\, dx\).

Здесь мы также можем воспользоваться методом подстановки. Введем новую переменную \(u\), равную \(\ln|x|\). Тогда \(du = \frac{1}{x} \, dx\) и \(dx = x \, du\). Применяя подстановку и решая интеграл, получаем:
\[
\int \frac{4}{x} \, dx = \int \frac{4}{\ln|u|} \cdot x \, du = 4x\ln|u| + C = 4x\ln|\ln|x|| + C
\]
где \(C\) - произвольная постоянная.

Задание 4:
Вычислить интеграл \(\int e^x \sin(x) \, dx\).

Для данного интеграла мы можем использовать метод частей. Запишем интеграл в виде произведения двух функций: \(f(x) = e^x\) и \(g"(x) = \sin(x)\). Применяя формулу интегрирования по частям \(\int f(x)g"(x) \, dx = f(x)g(x) - \int f"(x)g(x) \, dx\), получаем:
\[
\int e^x \sin(x) \, dx = -e^x \cos(x) - \int -e^x \cos(x) \, dx
\]
Теперь применим метод частей снова к новому интегралу \(\int -e^x \cos(x) \, dx\):
\[
\int -e^x \cos(x) \, dx = -e^x \sin(x) - \int -e^x \sin(x) \, dx
\]
Замечаем, что интегралы справа и слева взаимно отменяются. Подставляя обратные интегралы в исходное уравнение, получаем:
\[
\int e^x \sin(x) \, dx = -e^x \cos(x) + e^x \sin(x) + C = e^x (\sin(x) - \cos(x)) + C
\]
где \(C\) - произвольная постоянная.

Надеюсь, объяснение по каждому из заданий помогло вам более полно понять, как вычислять интегралы с использованием метода непосредственного интегрирования или метода подстановки. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!