Как можно разложить следующие векторы по базе трёх некомпланарных векторов, которые выходят из одной вершины

Для разложения векторов по базе трех некомпланарных векторов, выходящих из одной вершины правильного тетраэдра, мы можем воспользоваться методом векторного сложения.

Пусть \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) - это три некомпланарных вектора, которые выходят из вершины тетраэдра.

Также пусть \(\vec{m}\) и \(\vec{k}\) - это векторы, соединяющие вершину тетраэдра с серединами ребер.

Чтобы разложить векторы \(\vec{M}\) и \(\vec{K}\) по базе \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\), сначала найдем координаты векторов \(\vec{m}\) и \(\vec{k}\).

Поскольку \(\vec{m}\) является серединой одного из ребер, мы можем использовать свойство серединного перпендикуляра. Первая половина \(m_x\) координаты \(\vec{m}\) будет равна половине координаты \(a_x\), а вторая половина \(m_y\) будет равна половине координаты \(b_y\). Половина \(m_z\) координаты \(\vec{m}\) будет равна половине разности координат вершины тетраэдра и ребра \(m_z = \frac{1}{2}(a_z - b_z)\).

То же самое можно проделать для вектора \(\vec{k}\), заменив \(a\) и \(b\) на \(b\) и \(c\) соответственно. Таким образом, координаты \(\vec{k}\) будут первая половина \(k_x = \frac{1}{2}(b_x - c_x)\), вторая половина \(k_y = \frac{1}{2}(c_y - b_y)\), и половина \(k_z = \frac{1}{2}(c_z - b_z)\).

Используя координаты \(\vec{m}\) и \(\vec{k}\), мы можем разложить векторы \(\vec{M}\) и \(\vec{K}\) по базе \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) следующим образом:

\[
\vec{M} = \lambda_1 \vec{a} + \mu_1 \vec{b} + \nu_1 \vec{c}
\]
\[
\vec{K} = \lambda_2 \vec{a} + \mu_2 \vec{b} + \nu_2 \vec{c}
\]

где \(\lambda_1\), \(\mu_1\), \(\nu_1\), \(\lambda_2\), \(\mu_2\), \(\nu_2\) - это коэффициенты разложения, которые мы должны найти.

Подставляя координаты соответствующих векторов, имеем:

\[
\begin{cases}
M_x = \lambda_1 a_x + \mu_1 b_x + \nu_1 c_x \\
M_y = \lambda_1 a_y + \mu_1 b_y + \nu_1 c_y \\
M_z = \lambda_1 a_z + \mu_1 b_z + \nu_1 c_z
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
K_x = \lambda_2 a_x + \mu_2 b_x + \nu_2 c_x \\
K_y = \lambda_2 a_y + \mu_2 b_y + \nu_2 c_y \\
K_z = \lambda_2 a_z + \mu_2 b_z + \nu_2 c_z
\end{cases}
\]

Мы можем решить эту систему уравнений для нахождения \(\lambda_1\), \(\mu_1\), \(\nu_1\), \(\lambda_2\), \(\mu_2\), \(\nu_2\) с помощью метода Крамера или любого другого метода решения системы уравнений.

Таким образом, мы можем разложить векторы \(\vec{M}\) и \(\vec{K}\) по базе трех некомпланарных векторов, которые выходят из одной вершины правильного тетраэдра, зная, что \(\vec{M}\) и \(\vec{K}\) являются серединами ребер.