Определите длину BD, если OA = 7, OC = 9

Для решения задачи, нам понадобится знание геометрии и основных свойств треугольников.

Задача заключается в определении длины отрезка BD, если даны длины отрезков OA и OC.

Давайте рассмотрим треугольник OAB. Обозначим точку пересечения высот BD и AC как точку H. Заметим, что треугольник OAH и треугольник OCH являются подобными, так как у них соответственные углы равны (по свойству перпендикуляров) и у них одинаковые углы O.

Мы можем написать следующую пропорцию длин сторон треугольников OAH и OCH:

\(\frac{{OA}}{{OC}} = \frac{{AH}}{{HC}}\)

Тогда, подставляя данное значение, получим:

\(\frac{7}{9} = \frac{AH}{HC}\)

Чтобы найти отношение между длинами AH и HC, найдем их сумму:

AH + HC = AC

Так как точка H является точкой пересечения высот, то она также является точкой пересечения медиан. Из свойства медианы можно сделать вывод, что HC = 2 * HC.

Теперь, зная, что AH + HC = AC, мы можем записать:

AH + 2 * HC = AC

А потом, выражая HC через AH из пропорции:

AH + 2 * \(\frac{AH}{\frac{7}{9}} = AC\)

Simplified:

AH + 2 * \(\frac{9}{7}\) * AH = AC

Общий знаменатель:

\(1 + 2 * \frac{9}{7} = AC\)

Операции:

\(1 + 2 * \frac{9}{7} = \frac{1 * 7}{1 * 7} + \frac{2 * 9}{7} = \frac{7 + 18}{7} = \frac{25}{7}\)

Теперь, определившись с длиной AC как 25/7, мы можем вернуться к пропорции:

\(\frac{7}{9} = \frac{AH}{HC}\)

1. Выразим HC через AH:

\(\frac{7}{9} = \frac{AH}{\frac{25}{7} - AH}\)

2. Упростим уравнение, умножив обе части на 9:

\(7 = \frac{9 * AH}{\frac{25}{7} - AH}\)

3. Запишем общий знаменатель:

\(7 = \frac{9 * AH}{\frac{25 - 7 * AH}{7}}\)

4. Операции:

\(7 = \frac{9 * 7}{25 - 7 * AH}\)

5. Упростим дробь:

\(7 = \frac{63}{25 - 7 * AH}\)

6. Домножим обе части уравнения на \(25 - 7 * AH\):

\(7 * (25 - 7 * AH) = 63\)

7. Раскроем скобки:

\(175 - 49 * AH = 63\)

8. Перенесем 63 на правую сторону:

\(-49 * AH = 63 - 175\)

9. Операции:

\(-49 * AH = -112\)

10. Разделим обе части на -49, чтобы выразить AH:

\(AH = \frac{-112}{-49} = \frac{112}{49} = \frac{16}{7}\)

Теперь мы знаем, что AH равно 16/7. Чтобы найти длину BD, нам нужно вычислить AC - AH. Мы уже ранее нашли значение AC, оно равно 25/7:

BD = AC - AH = \(\frac{25}{7} - \frac{16}{7} = \frac{25 - 16}{7} = \frac{9}{7}\)

Таким образом, длина BD равна 9/7.