Какую площадь имеет сфера, вписанная в конус, если радиус основания конуса равен 3 см, а угол при вершине осевого

Чтобы найти площадь сферы, вписанной в конус, нужно узнать радиус этой сферы. Поскольку у нас есть данные о конусе, начнем с определения радиуса основания конуса и угла при вершине осевого сечения.

Угол при вершине осевого сечения составляет 60 градусов. Осевое сечение конуса - это плоскость, которая пересекает конус вдоль его оси и проходит через вершину конуса. Угол при вершине осевого сечения - это угол между линией, соединяющей вершину конуса с центром основания, и плоскостью осевого сечения.

Теперь давайте рассмотрим треугольник, образованный основанием конуса, центром этого основания и вершиной конуса. Такой треугольник является прямоугольным треугольником, поскольку прямой угол образуется между радиусом основания и линией, соединяющей вершину конуса с центром основания.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике, основание равностороннее, поэтому его радиус равен половине длины стороны основания. Мы знаем, что радиус основания конуса равен 3 см. Таким образом, радиус основания треугольника равен \(\frac{3}{2}\) см.

Следовательно, радиус сферы будет равен радиусу основания треугольника, то есть \(\frac{3}{2}\) см.

Теперь мы можем найти площадь сферы, используя формулу:

\[S = 4\pi r^2\]

где \(S\) - площадь сферы, \(\pi\) - математическая константа, приближенно равная 3,14, а \(r\) - радиус сферы.

Подставляя значения, получаем:

\[S = 4\pi \left(\frac{3}{2}\right)^2 \]

Решим эту формулу:

\[S = 4\pi \left(\frac{9}{4}\right) = \pi \cdot 9 = 9\pi \]

Таким образом, площадь сферы, вписанной в данный конус, составляет \(9\pi\) квадратных сантиметров.