Как можно представить число 324 в виде суммы четырех слагаемых таким образом, что отношение первых двух слагаемых будет

Для решения этой задачи нам придется использовать алгебру и систему уравнений. Давайте начнем с введения переменных для каждого из слагаемых. Пусть первое слагаемое будет \(x\), второе - \(2x\), третье - \(y\), и четвертое - \(nz\), где \(z\) - это неизвестное число.

Теперь мы можем составить уравнения, исходя из условий задачи:

1) Отношение первых двух слагаемых должно быть 1:2:
\[x : 2x = 1 : 2\]
Упрощаем это уравнение, получаем:
\(\frac{{x}}{{2x}} = \frac{{1}}{{2}}\)
\(\frac{{1}}{{2}} = \frac{{1}}{{2}}\)
Условие выполняется, поэтому это уравнение не дает нам новой информации.

2) Отношение второго и третьего слагаемых должно быть 8:9:
\[2x : y = 8 : 9\]
Упрощаем это уравнение, получаем:
\(\frac{{2x}}{{y}} = \frac{{8}}{{9}}\)
Теперь мы можем устранить дробь, умножив оба выражения на \(9y\):
\(2x \cdot 9y = 8 \cdot y\)
\(18xy = 8y\)
Теперь делим оба выражения на \(y\) для получения выражения для \(x\):
\(18x = 8\)
\(x = \frac{{8}}{{18}}\)
\(x = \frac{{4}}{{9}}\)

3) Отношение третьего и четвертого слагаемых должно быть \(n:1\):
\[y : nz = n : 1\]
Упрощаем это уравнение, получаем:
\(\frac{{y}}{{nz}} = \frac{{n}}{{1}}\)
Теперь мы можем устранить дробь, умножив оба выражения на \(nz\):
\(y \cdot nz = n \cdot 1\)
\(nyz = n\)
Делим оба выражения на \(n\) для получения выражения для \(yz\):
\(yz = 1\)

Теперь мы можем использовать полученные значения \(x\) и \(yz\) для нахождения \(y\) и \(z\).

Из уравнения \(yz = 1\) очевидно, что \(y = \frac{{1}}{{z}}\).

Подставим это в уравнение \(2x : y = \frac{{8}}{{9}}\):
\(2x : \frac{{1}}{{z}} = \frac{{8}}{{9}}\)
Умножаем оба выражения на \(\frac{{1}}{{2}}z\) для устранения дроби:
\(2x \cdot \frac{{1}}{{2}}z = \frac{{8}}{{9}} \cdot \frac{{1}}{{2}}z\)
\(xz = \frac{{4}}{{9}} \cdot \frac{{1}}{{2}}z\)
Теперь сокращаем \(z\), получаем:
\(x = \frac{{4}}{{9}} \cdot \frac{{1}}{{2}}\)
\(x = \frac{{2}}{{9}}\)

Таким образом, мы получили значения \(x = \frac{{4}}{{9}}\) и \(y = \frac{{1}}{{z}}\).

Теперь, чтобы найти значение \(z\), мы можем воспользоваться условием задачи: число 324 должно быть представлено суммой четырех слагаемых. Значит,
\[x + 2x + y + nz = 324\]
Подставим найденные значения \(x\) и \(y\):
\(\frac{{4}}{{9}} + 2 \cdot \frac{{4}}{{9}} + \frac{{1}}{{z}} + nz = 324\)
\(\frac{{4}}{{9}} + \frac{{8}}{{9}} + \frac{{1}}{{z}} + nz = 324\)
\(\frac{{12}}{{9}} + \frac{{1}}{{z}} + nz = 324\)

Для простоты, давайте приведем коэффициенты дробей к общему знаменателю, который равен 9:
\(\frac{{12}}{{9}} + \frac{{1}}{{z}} + nz = \frac{{324}}{{9}}\)
\(\frac{{12 + 9 + 9nz}}{{9}} = \frac{{324}}{{9}}\)

Упростим это уравнение:
\(21 + 9nz = 36\)
\(9nz = 15\)
\(nz = \frac{{15}}{{9}}\)
\(nz = \frac{{5}}{{3}}\)

Мы получили значение \(nz = \frac{{5}}{{3}}\), что означает, что отношение третьего и четвертого слагаемых равно \(\frac{{5}}{{3}}\).

Теперь мы можем подставить значения \(x\), \(y\) и \(nz\) в исходное уравнение \(x + 2x + y + nz = 324\) и проверить его:

\(\frac{{4}}{{9}} + 2 \cdot \frac{{4}}{{9}} + \frac{{1}}{{\frac{{5}}{{3}}}} + \frac{{5}}{{3}} \cdot z = 324\)

Теперь решим это уравнение:

\(\frac{{4}}{{9}} + \frac{{8}}{{9}} + \frac{{3}}{{5}} + \frac{{5}}{{3}}z = 324\)

Давайте приведем дроби к общему знаменателю, который равен 45:

\(\frac{{20}}{{45}} + \frac{{40}}{{45}} + \frac{{27}}{{45}} + \frac{{75}}{{45}}z = \frac{{14580}}{{45}}\)

\(z + \frac{{20}}{{3}}z = \frac{{14580}}{{45}} - \frac{{87}}{{45}}\)

Упростим это уравнение:

\(\frac{{3z + 60z}}{{45}} = \frac{{14580 - 87}}{{45}}\)

\(63z = \frac{{14493}}{{45}}\)

\(z = \frac{{14493}}{{63 \cdot 45}}\)

\(z = \frac{{14493}}{{2835}}\)

После сокращения получим значение:

\(z \approx 5,116\)

Итак, получаем, что число 324 может быть представлено в виде суммы четырех слагаемых таким образом:

\(\frac{{4}}{{9}} + 2 \cdot \frac{{4}}{{9}} + \frac{{1}}{{\frac{{5}}{{3}}}} + \frac{{5}}{{3}} \cdot 5,116 \approx 0,444 + 0,889 + 0,6 + 8,533 \approx 10,466\)

Пожалуйста, обратите внимание, что значения округлены для удобства чтения и не являются точными.