Как можно построить пять линейно независимых векторов x, y, z, n и m, а затем сложить их, чтобы получить вектор

Чтобы построить пять линейно независимых векторов \(x, y, z, n\) и \(m\) и затем сложить их для получения вектора \(x+y+z+n+m\), мы можем воспользоваться следующей методологией.

1. Сначала выберем размерность пространства, в котором мы будем работать. Давайте предположим, что мы работаем в трехмерном пространстве (\(x, y, z, n, m \in \mathbb{R}^3\)).

2. Для построения линейно независимых векторов нам понадобится задать пять ненулевых векторов, которые не лежат в одной плоскости. Мы можем использовать следующие векторы:

\[x = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},
y = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},
z = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix},
n = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},
m = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\]

Обратите внимание, что каждый из этих векторов имеет отличные от нуля координаты и, следовательно, является ненулевым вектором.

3. Теперь, чтобы получить вектор \(x+y+z+n+m\), мы просто складываем соответствующие координаты каждого вектора:

\[x+y+z+n+m = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}\]

Таким образом, вектор \(x+y+z+n+m\) равен \(\begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}\).

Обоснование:

Мы построили пять линейно независимых векторов \(x, y, z, n\) и \(m\) изначально, основываясь на том, что они имеют ненулевые и отличные от нуля координаты. Затем мы просто просуммировали соответствующие координаты каждого вектора, чтобы получить вектор \(x+y+z+n+m\). Полученный вектор также имеет отличные от нуля координаты и является ненулевым вектором.

Таким образом, мы построили пять линейно независимых векторов \(x, y, z, n\) и \(m\) и получили вектор \(x+y+z+n+m\), имеющий координаты \(\begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}\).