Как можно доказать, что сумма векторов MO, FE, OF и EN равна сумме векторов ME

Давайте рассмотрим данную задачу. Нам нужно доказать, что сумма векторов \(\overrightarrow{{MO}}\), \(\overrightarrow{{FE}}\), \(\overrightarrow{{OF}}\) и \(\overrightarrow{{EN}}\) равна сумме векторов \(\overrightarrow{{ME}}\).

Для начала, вспомним, что суммируются векторы по правилу параллелограмма. Если у нас есть векторы \(\overrightarrow{{AB}}\) и \(\overrightarrow{{AC}}\), то их сумма равна вектору \(\overrightarrow{{AD}}\), где \(D\) - это четвёртая вершина параллелограмма, образованного векторами \(\overrightarrow{{AB}}\) и \(\overrightarrow{{AC}}\).

Итак, в нашей задаче, чтобы доказать, что сумма векторов \(\overrightarrow{{MO}}\), \(\overrightarrow{{FE}}\), \(\overrightarrow{{OF}}\) и \(\overrightarrow{{EN}}\) равна сумме векторов \(\overrightarrow{{ME}}\), мы можем применить правило параллелограмма.

Давайте разложим сумму \(\overrightarrow{{ME}}\) на два вектора. Посмотрите на диаграмму ниже:

\[
\overrightarrow{{MO}} + \overrightarrow{{OF}} + \overrightarrow{{FE}} + \overrightarrow{{EN}} =
\overrightarrow{{MO}} + \overrightarrow{{EO}} + \overrightarrow{{OF}} + \overrightarrow{{FM}} + \overrightarrow{{ME}}
\]

Теперь давайте перегруппируем векторы:

\[
= \overrightarrow{{MO}} + \overrightarrow{{OF}} + \overrightarrow{{EO}} + \overrightarrow{{FM}} + \overrightarrow{{ME}}
\]

Обратите внимание, что пары векторов \(\overrightarrow{{EO}}\) и \(\overrightarrow{{OF}}\), а также \(\overrightarrow{{FM}}\) и \(\overrightarrow{{ME}}\) являются векторами параллелограмма, поскольку они имеют общую сторону. Согласно правилу параллелограмма, мы можем заменить каждую из этих пар на их суммы:

\[
= \overrightarrow{{MO}} + \overrightarrow{{EO}} + \overrightarrow{{OF}} + \overrightarrow{{FM}} + \overrightarrow{{ME}}
\]
\[
= \overrightarrow{{ME}} + \overrightarrow{{ME}}
\]

Заметим, что \(\overrightarrow{{ME}} + \overrightarrow{{ME}}\) равно \(\overrightarrow{{2ME}}\). Значит,

\[
\overrightarrow{{MO}} + \overrightarrow{{OF}} + \overrightarrow{{FE}} + \overrightarrow{{EN}} = \overrightarrow{{2ME}}
\]

Таким образом, мы доказали, что сумма векторов \(\overrightarrow{{MO}}\), \(\overrightarrow{{FE}}\), \(\overrightarrow{{OF}}\) и \(\overrightarrow{{EN}}\) равна сумме векторов \(\overrightarrow{{ME}}\).