Каков синус угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью (BB1D1D) в кубе ABCDA1B1C1 с ребром длиной 1 ед. изм

Для решения этой задачи нам понадобится знание свойств тригонометрических функций и геометрии куба.

Возьмем куб ABCDA1B1C1 со стороной длиной 1 единицу. Рассмотрим прямую AM, где M находится на ребре A1D1, и диагональную плоскость BB1D1D.

Для начала, найдем угол между прямой AM и плоскостью BB1D1D. Для этого рассмотрим прямую AM и ее проекцию на плоскость BB1D1D. Заметим, что проекция прямой AM на плоскость BB1D1D будет горизонтальной линией, так как AM и плоскость BB1D1D параллельны.

Теперь посмотрим на треугольник A1BM в плоскости BB1D1D. Поскольку A1M и MD1 имеют отношение 1:1, то можно сказать, что треугольник A1BM является прямоугольным. А так как AM и проекция AM являются катетами этого треугольника, то угол между прямой AM и плоскостью BB1D1D будет равен углу B1AM.

Осталось найти значение синуса угла B1AM. Для этого воспользуемся соотношением \(\sin(\theta) = \frac{{\text{{противоположный катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\) в прямоугольном треугольнике B1AM.

Рассмотрим треугольник B1AM. Катет B1A равен длине ребра куба, то есть 1 единице. Гипотенуза B1M равна длине ребра куба, умноженной на \(\sqrt{2}\), так как B1M -- диагональ куба. Таким образом, B1M = \(1\cdot\sqrt{2}\).

Теперь можем вычислить синус угла B1AM: \(\sin(B1AM) = \frac{B1A}{{B1M}} = \frac{1}{{1\cdot\sqrt{2}}} = \frac{1}{{\sqrt{2}}} = \frac{{\sqrt{2}}}{{2}}\).

Итак, синус угла \(\varphi\) между прямой AM и диагональной плоскостью BB1D1D в кубе ABCDA1B1C1 равен \(\frac{{\sqrt{2}}}{{2}}\).