Яка площа бічної поверхні конуса, який утворюється під час обертання прямокутного трикутника навколо його катета, якщо

Добро пожаловать! Чтобы решить эту задачу, нам сначала нужно определить, как выглядит конус, образованный вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

Итак, у нас есть прямоугольный треугольник, у которого один катет имеет длину 6 см, а прилегающий катет образует с ним угол в 30 градусов. Пусть этот катет будет называться основанием конуса.

Для начала, найдем высоту конуса, поскольку она понадобится для решения задачи. Высота конуса равна длине второго катета прямоугольного треугольника.

Для нахождения второго катета, мы можем использовать теорему синусов. В этой задаче у нас есть гипотенуза (катет длиной 6 см) и угол между гипотенузой и вторым катетом (30 градусов). Таким образом, мы можем использовать следующую формулу:

\[
\frac{{\text{{длина второго катета}}}}{{\sin(30^\circ)}} = \frac{{\text{{длина гипотенузы}}}}{{\sin(90^\circ)}}
\]

Подставляя известные значения, получим:

\[
\frac{{\text{{длина второго катета}}}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{6}}{{1}}
\]

Упростим это уравнение:

\[
2 \cdot \text{{длина второго катета}} = 6
\]

\[
\text{{длина второго катета}} = \frac{6}{2}
\]

\[
\text{{длина второго катета}} = 3
\]

Таким образом, высота конуса равна 3 см.

Теперь, чтобы найти боковую поверхность конуса, мы можем использовать формулу \(S = \pi r l\), где \(S\) - площадь боковой поверхности, \(r\) - радиус основания конуса, а \(l\) - образующая конуса.

Основание конуса - это окружность, радиус которой мы можем выразить через один из катетов прямоугольного треугольника:

\[
r = \frac{\text{{длина катета}}}{2}
\]

Подставляя известные значения:

\[
r = \frac{6}{2} = 3
\]

Образующая конуса равна длине гипотенузы прямоугольного треугольника, равной 6 см.

Теперь, применим формулу для нахождения площади боковой поверхности конуса:

\[
S = \pi \cdot 3 \cdot 6 = 18\pi \approx 56.55 \, \text{см}^2
\]

Таким образом, площадь боковой поверхности конуса, образованного вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, составляет около 56.55 см².