Яка площа поверхні куба, якщо площа діагонального перерізу дорівнює 4√2 см²?

Давайте решим данную задачу шаг за шагом.

Пусть сторона куба равна \(a\) см. Площадь поверхности куба состоит из площадей его граней. У куба 6 граней, и каждая грань является квадратом со стороной \(a\) см.

Теперь, чтобы найти суммарную площадь всех граней, нужно умножить площадь одной грани на количество граней. Мы можем записать эту формулу следующим образом:

Площадь поверхности куба = площадь одной грани × количество граней

Таким образом, площадь поверхности куба составляет \(6a^2\) см².

Теперь, нам дано, что диагональный перерез куба имеет площадь \(4\sqrt{2}\) см². Зная, что диагональный перерез (или диагональ куба) является гипотенузой равнобедренного прямоугольного треугольника, который образуется из двух смежных граней куба, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения стороны куба.

Формула теоремы Пифагора выглядит следующим образом:

\(a^2 + a^2 = (\text{Диагональ куба})^2\)

Или можно записать это в таком виде:

\(2a^2 = (\text{Диагональ куба})^2\)

Теперь мы можем воспользоваться данной информацией. Подставляя \(4\sqrt{2}\) вместо диагонали куба в формулу, получим:

\(2a^2 = (4\sqrt{2})^2\)

\(2a^2 = 16 \cdot 2\)

\(2a^2 = 32\)

Разделим обе части уравнения на 2:

\(a^2 = \frac{32}{2}\)

\(a^2 = 16\)

Теперь найдем квадратный корень из обеих частей уравнения:

\(a = \sqrt{16}\)

\(a = 4\)

Таким образом, сторона куба равна 4 см.

Теперь, чтобы найти площадь поверхности куба, подставим значение стороны в формулу:

\[6a^2 = 6 \cdot 4^2 = 6 \cdot 16 = 96\]

Таким образом, площадь поверхности куба составляет 96 см².