Как изменяется высота уровня воды в сосуде в зависимости от времени, когда в пространство между стенками сосуда

Для решения данной задачи, нам нужно учесть несколько факторов, которые влияют на изменение высоты уровня воды в сосуде.

Первый фактор - это расход воды, который заливают в пространство между стенками сосуда и стакана. Обозначим его как Q (литры в секунду).

Второй фактор - плотность воды. Обозначим ее как ρ (килограммы на литр).

Третий фактор - масса стакана. Обозначим ее как m (килограммы).

Четвертый фактор - шероховатость дна сосуда. Она может вызывать подтекание воды под стакан, поэтому важно учесть этот факт.

Пусть высота воды в сосуде в момент времени t обозначается как h(t).

Для вычисления изменения высоты воды в сосуде, мы можем воспользоваться принципом сохранения массы:

$${\displaystyle \frac{d(m\cdot h)}{dt}}=Q\cdot \rho -{\displaystyle \frac{d{m}_{подтекающая}}{dt}}$$

где $d{m}_{подтекающая}/dt$ - изменение массы воды, подтекающей под стакан в единицу времени.

Учитывая, что масса стакана m постоянна, преобразуем выражение:

$$m\cdot {\displaystyle \frac{dh}{dt}}=Q\cdot \rho -{\displaystyle \frac{d{m}_{подтекающая}}{dt}}$$

Введем новую переменную - площадь сечения сосуда S (квадратные метры) и предположим, что скорость обтекания воды внутри сосуда одинакова по всему сечению. Тогда скорость изменения массы воды, подтекающей под стакан в единицу времени, можно записать как:

$${\displaystyle \frac{d{m}_{подтекающая}}{dt}}=S\cdot v_{подтекающая}$$

где $v_{подтекающая}$ - скорость подтекания воды под стакан.

Подставим это выражение в нашу исходную формулу:

$$m\cdot {\displaystyle \frac{dh}{dt}}=Q\cdot \rho -S\cdot v_{подтекающая}$$

Теперь у нас есть уравнение, описывающее изменение высоты воды в зависимости от времени t. Чтобы получить конкретное решение, нам нужно знать значения расхода воды Q, плотности ρ, площади сечения сосуда S и скорости подтекания воды под стакан $v_{подтекающая}$.

Если у нас есть эти значения, мы можем интегрировать уравнение по времени, чтобы найти функцию высоты h(t):

$$\int m\cdot dh=\int (Q\cdot \rho -S\cdot v_{подтекающая})\cdot dt$$

$$m\cdot h(t)=Q\cdot \rho \cdot t-S\cdot \int v_{подтекающая}\cdot dt+C$$

где C - постоянная интегрирования.

Таким образом, после решения этого уравнения и нахождения соответствующих значений для всех входных параметров, мы сможем определить, как изменяется высота уровня воды в сосуде в зависимости от времени, когда в пространство между стенками сосуда и стакана начинают заливать воду.