Как изменится площадь треугольника при следующих условиях: а) увеличение опущенной на сторону высоты в два раза

Давайте посмотрим на каждое условие по очереди и рассчитаем изменение площади треугольника.

а) Увеличение опущенной на сторону высоты в два раза без изменения стороны:
Предположим, что исходный треугольник имеет сторону \(a\) и высоту \(h\). Площадь \(S\) исходного треугольника можно вычислить по формуле:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\]

После увеличения опущенной на сторону высоты в два раза, новая высота будет \(2h\), но сторона треугольника останется неизменной. Поэтому, площадь нового треугольника \(S"\) будет:

\[S" = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (2h) = a \cdot h = 2S\]

Таким образом, площадь треугольника увеличится в два раза.

б) Уменьшение стороны, на которую опущена высота, в три раза без изменения высоты:
Предположим, что исходный треугольник имеет сторону \(a\) и высоту \(h\). Площадь \(S\) исходного треугольника можно вычислить по формуле:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\]

После уменьшения стороны, на которую опущена высота, в три раза, новая сторона будет \(\frac{1}{3} \cdot a\), но высота треугольника останется неизменной. Поэтому, площадь нового треугольника \(S"\) будет:

\[S" = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot a\right) \cdot h = \frac{1}{6} \cdot a \cdot h = \frac{1}{3}S\]

Таким образом, площадь треугольника уменьшится в три раза.

в) Увеличение одной стороны в четыре раза и одновременное уменьшение высоты, опущенной на нее, в восемь раз:
Предположим, что исходный треугольник имеет сторону \(a\) и высоту \(h\). Площадь \(S\) исходного треугольника можно вычислить по формуле:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\]

После увеличения одной стороны в четыре раза, новая сторона будет \(4a\), а высота будет \(\frac{1}{8}h\). Поэтому, площадь нового треугольника \(S"\) будет:

\[S" = \frac{1}{2} \cdot (4a) \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot h\right) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = S\]

Таким образом, площадь треугольника не изменится при таких условиях.

Таким образом, мы рассмотрели все условия задачи и определили, как изменится площадь треугольника в каждом случае.