Как должна изменяться масса космического корабля в зависимости от времени, при условии, что скорость истечения газов

Хорошо, чтобы найти, как должна изменяться масса космического корабля в зависимости от времени, вам понадобятся законы сохранения импульса и массы. Давайте воспользуемся этими законами для решения задачи.

Пусть \(V\) будет скоростью истечения газов из сопла относительно корабля и \(dm\) - изменением массы корабля за промежуток времени \(dt\). По закону сохранения импульса, изменение импульса газов равно изменению импульса корабля:

\[m_1 \cdot v_1 - m_2 \cdot v_2 = (m_1 - dm) \cdot v_1 - (m_2 + dm) \cdot v_2\]

где \(m_1\) и \(v_1\) - масса и скорость корабля до истечения газов, а \(m_2\) и \(v_2\) - масса и скорость газов после истечения. Примечание: поскольку скорость истечения газов относительно корабля остается постоянной, \(v_1\) равно нулю.

Раскроем скобки и перегруппируем уравнение:

\[-m_2 \cdot v_2 = - (m_2 + dm) \cdot v_2\]

Делим обе части на \(v_2\) и получаем:

\[m_2 = m_2 + dm\]

Отсюда видно, что изменение массы газа равно изменению массы корабля.

Перейдем теперь к закону сохранения массы. Изменение массы корабля за промежуток времени \(dt\) равно количеству газа, истекшего из сопла:

\[dm = - \rho \cdot A \cdot V \cdot dt\]

где \(\rho\) - плотность газа, \(A\) - площадь сечения сопла.

Теперь мы можем объединить полученные уравнения:

\[m_2 = m_2 - \rho \cdot A \cdot V \cdot dt\]

Перенесем термин с изменением массы налево:

\[\rho \cdot A \cdot V \cdot dt = 0\]

Так как \(\rho \cdot A \cdot V \cdot dt\) не может быть равно нулю, это означает, что изменение массы газа равно нулю, т.е. масса космического корабля остается неизменной в отсутствие воздействия гравитации.

Итак, при условии, что скорость истечения газов из сопла относительно корабля остается постоянной, а гравитация не учитывается, масса космического корабля не изменяется во времени.