Как доказать тождество 1 + (ctg^2a - tg^2a)cos^2a = ctg^2a?

Для доказательства данного тождества, начнем с левой стороны и последовательно преобразуем ее в правую сторону, используя известные тождества тригонометрии.

Левая сторона: 1 + (ctg^2a - tg^2a)cos^2a

Шаг 1: По формуле ctg^2a = 1/tg^2a, заменим ctg^2a на 1/tg^2a.

1 + (1/tg^2a - tg^2a)cos^2a

Шаг 2: Теперь проведем общий знаменатель для дробей в скобках. Общим знаменателем будет tg^2a.

1 + \(\dfrac{1-tg^4a}{tg^2a}\)cos^2a

Шаг 3: Умножим дробь в скобках на cos^2a.

1 + \(\dfrac{1-tg^4a}{tg^2a}\)cos^2a

Шаг 4: Разложим выражение \(1 - tg^4a\) на разность квадратов. Получим \( (1 - tg^2a) \cdot (1 + tg^2a) \).

1 + \(\dfrac{(1-tg^2a)\cdot(1+tg^2a)}{tg^2a}\)cos^2a

Шаг 5: Отменяем одинаковые множители в числителе и знаменателе.

1 + \( \dfrac{1-tg^2a}{tg^2a} \cdot (1+tg^2a) \)cos^2a

Шаг 6: Упростим дробь и умножим ее на cos^2a.

1 + \( \dfrac{1}{tg^2a} \cdot (1+tg^2a) \)cos^2a

Шаг 7: Разложим продукт внутри скобок.

1 + \( \dfrac{1}{tg^2a} + tg^2a \)cos^2a

Шаг 8: Косинус - это 1/tg, поэтому заменим cos^2a на 1/tg^2a.

1 + \( \dfrac{1}{tg^2a} + tg^2a \) \(\dfrac{1}{tg^2a}\)

Шаг 9: Приводим дроби к общему знаменателю.

1 + \( \dfrac{1 + tg^4a + tg^4a}{tg^2a \cdot tg^2a}\)

Шаг 10: Складываем числители.

1 + \( \dfrac{1 + 2tg^4a}{tg^4a}\)

Шаг 11: Разбиваем дробь на две дроби.

1 + \( \dfrac{1}{tg^4a} + \dfrac{2tg^4a}{tg^4a}\)

Шаг 12: Упрощаем.

1 + \( \dfrac{1}{tg^4a} + 2\)

Шаг 13: Приводим к общему знаменателю и складываем.

\( \dfrac{tg^4a + 1 + 2tg^4a}{tg^4a}\)

Шаг 14: Складываем числители.

\( \dfrac{3tg^4a + 1}{tg^4a}\)

Таким образом, мы пришли к правой стороне тождества: \( ctg^2a \).

Таким образом, доказано тождество \( 1 + (ctg^2a - tg^2a)cos^2a = ctg^2a \) пошагово с обоснованием каждого преобразования.