Как найти решение системы неравенств: 3(х+1) - (х-2) < х 2 > 5х - (2х-1)?

Давайте решим данную систему неравенств пошагово, чтобы быть уверенными в правильности решения. Итак, даны два неравенства:

1. 3(х+1) - (х-2) < х
2. х^2 > 5х - (2х-1)

Давайте начнем с первого неравенства. Распределим коэффициент 3 на оба слагаемых в скобках, а затем упростим выражения:

3х + 3 - х + 2 < х

2х + 5 < х

Теперь у нас есть неравенство, которое содержит только одно переменное значение (х). Давайте решим его:

2х + 5 < х

Вычитаем х из обеих частей:

2х - х + 5 < 0

х + 5 < 0

Вычитаем 5 из обеих частей:

х < -5

Таким образом, решение первого неравенства - это все значения x, меньшие -5.

Теперь перейдем ко второму неравенству. Поскольку мы имеем квадратное уравнение, нам нужно переписать его в канонической форме:

х^2 - 5х + 2х - 1 > 0

х^2 - 3х - 1 > 0

В данном случае нам необходимо найти области, где данное уравнение имеет положительные значения. Для этого мы можем построить график уравнения и определить, когда оно находится выше оси х.

Однако, если у вас нет возможности построить график, мы можем воспользоваться другим методом. Давайте используем метод интервалов:

1. Найдем корни уравнения х^2 - 3х - 1 = 0. Для этого можем воспользоваться формулой дискриминанта. Дискриминант D = (-3)^2 - 4*1*(-1) = 9 + 4 = 13.
Поскольку D > 0, у нас есть два различных вещественных корня.
Найдем их с помощью формулы корней квадратного уравнения: x = (-b ± √D) / 2a, где a = 1, b = -3, D = 13.
x1 = (-(-3) + √13) / (2*1) ≈ (3 + √13) / 2
x2 = (-(-3) - √13) / (2*1) ≈ (3 - √13) / 2

2. Теперь, чтобы определить интервалы, где уравнение х^2 - 3х - 1 > 0, мы должны проверить знаки уравнения в разных интервалах:
a) Когда x < x1, мы выбираем любую точку, меньшую x1, и проверяем знак уравнения:
Пусть x = 0 (любое число меньше x1)
Подставим x = 0 в уравнение: (0)^2 - 3(0) - 1 = -1
Получаем отрицательное значение, что означает, что уравнение не выполняется в этом интервале.
b) Когда x1 < x < x2, аналогично мы выбираем любую точку и проверяем знак уравнения:
Пусть x = 1 (любое число между x1 и x2)
Подставим x = 1 в уравнение: (1)^2 - 3(1) - 1 = -2
И снова получаем отрицательное значение.
c) Когда x > x2, продолжаем найти знак уравнения:
Пусть x = 2 (любое число больше x2)
Подставим x = 2 в уравнение: (2)^2 - 3(2) - 1 = 1
Мы получили положительное значение, что означает, что уравнение выполняется в этом интервале.

Исходя из этого, мы можем сделать вывод, что уравнение х^2 - 3х - 1 > 0 выполняется только при x > x2, или x > (3 - √13) / 2 (около 2.3028).

Таким образом, решение второго неравенства - это все значения x, большие (3 - √13) / 2.