На интервале (0 ; п), какие значения переменной x приводят к экстремумам функций y = sin3x и e = cos2x? Определите

Чтобы найти экстремумы функций \(y = \sin^3 x\) и \(e = \cos^2 x\) на интервале \((0, \pi)\), нам понадобится сначала найти производные этих функций, а затем проанализировать их значения на данном интервале.

1. Начнем с функции \(y = \sin^3 x\). Для нахождения экстремумов найдем первую производную этой функции. Применим правило дифференцирования для степенной функции и цепного правила:

\[\frac{{dy}}{{dx}} = 3 \sin^2 x \cos x.\]

2. Теперь рассмотрим функцию \(e = \cos^2 x\). Для нахождения экстремумов найдем первую производную этой функции, используя правило дифференцирования для степенной функции и цепное правило:

\[\frac{{de}}{{dx}} = -2 \cos x \sin x.\]

3. Чтобы найти интервалы, на которых функции возрастают и убывают, проанализируем знаки первых производных на интервале \((0, \pi)\).

Для функции \(y = \sin^3 x\):

- Когда \(\frac{{dy}}{{dx}} > 0\), функция возрастает.
- Когда \(\frac{{dy}}{{dx}} < 0\), функция убывает.

Для функции \(e = \cos^2 x\):

- Когда \(\frac{{de}}{{dx}} > 0\), функция возрастает.
- Когда \(\frac{{de}}{{dx}} < 0\), функция убывает.

Теперь рассмотрим значения первых производных на интервале \((0, \pi)\).

Для функции \(y = \sin^3 x\):

- \(\frac{{dy}}{{dx}} = 3 \sin^2 x \cos x > 0\) при \(0 < x < \frac{{\pi}}{{2}}\).
- \(\frac{{dy}}{{dx}} = 3 \sin^2 x \cos x < 0\) при \(\frac{{\pi}}{{2}} < x < \pi\).

Для функции \(e = \cos^2 x\):

- \(\frac{{de}}{{dx}} = -2 \cos x \sin x > 0\) при \(0 < x < \frac{{\pi}}{{4}}\) и \(\frac{{3\pi}}{{4}} < x < \pi\).
- \(\frac{{de}}{{dx}} = -2 \cos x \sin x < 0\) при \(\frac{{\pi}}{{4}} < x < \frac{{3\pi}}{{4}}\).

Итак, получаем следующие результаты:

Для функции \(y = \sin^3 x\), на интервале \((0, \pi)\):
- Функция возрастает на интервале \(0 < x < \frac{{\pi}}{{2}}\).
- Функция убывает на интервале \(\frac{{\pi}}{{2}} < x < \pi\).

Для функции \(e = \cos^2 x\), на интервале \((0, \pi)\):
- Функция возрастает на интервалах \(0 < x < \frac{{\pi}}{{4}}\) и \(\frac{{3\pi}}{{4}} < x < \pi\).
- Функция убывает на интервале \(\frac{{\pi}}{{4}} < x < \frac{{3\pi}}{{4}}\).

Надеюсь, это помогло вам понять, какие значения переменной \(x\) приводят к экстремумам данных функций и на каких интервалах они возрастают или убывают. Если у вас остались еще вопросы, не стесняйтесь задавать!