На интервале (0 ; п), какие значения переменной x приводят к экстремумам функций y = sin3x и e = cos2x? Определите

Чтобы найти экстремумы функций $y={\sin }^{3}x$ и $e={\cos }^{2}x$ на интервале $(0,\pi )$, нам понадобится сначала найти производные этих функций, а затем проанализировать их значения на данном интервале.

1. Начнем с функции $y={\sin }^{3}x$. Для нахождения экстремумов найдем первую производную этой функции. Применим правило дифференцирования для степенной функции и цепного правила:

$$\frac{dy}{dx}=3{\sin }^{2}x\cos x.$$

2. Теперь рассмотрим функцию $e={\cos }^{2}x$. Для нахождения экстремумов найдем первую производную этой функции, используя правило дифференцирования для степенной функции и цепное правило:

$$\frac{de}{dx}=-2\cos x\sin x.$$

3. Чтобы найти интервалы, на которых функции возрастают и убывают, проанализируем знаки первых производных на интервале $(0,\pi )$.

Для функции $y={\sin }^{3}x$:

- Когда $\frac{dy}{dx}>0$, функция возрастает.
- Когда $\frac{dy}{dx}<0$, функция убывает.

Для функции $e={\cos }^{2}x$:

- Когда $\frac{de}{dx}>0$, функция возрастает.
- Когда $\frac{de}{dx}<0$, функция убывает.

Теперь рассмотрим значения первых производных на интервале $(0,\pi )$.

Для функции $y={\sin }^{3}x$:

- $\frac{dy}{dx}=3{\sin }^{2}x\cos x>0$ при $0<x<\frac{\pi }{2}$.
- $\frac{dy}{dx}=3{\sin }^{2}x\cos x<0$ при $\frac{\pi }{2}<x<\pi$.

Для функции $e={\cos }^{2}x$:

- $\frac{de}{dx}=-2\cos x\sin x>0$ при $0<x<\frac{\pi }{4}$ и $\frac{3\pi }{4}<x<\pi$.
- $\frac{de}{dx}=-2\cos x\sin x<0$ при $\frac{\pi }{4}<x<\frac{3\pi }{4}$.

Итак, получаем следующие результаты:

Для функции $y={\sin }^{3}x$, на интервале $(0,\pi )$:
- Функция возрастает на интервале $0<x<\frac{\pi }{2}$.
- Функция убывает на интервале $\frac{\pi }{2}<x<\pi$.

Для функции $e={\cos }^{2}x$, на интервале $(0,\pi )$:
- Функция возрастает на интервалах $0<x<\frac{\pi }{4}$ и $\frac{3\pi }{4}<x<\pi$.
- Функция убывает на интервале $\frac{\pi }{4}<x<\frac{3\pi }{4}$.

Надеюсь, это помогло вам понять, какие значения переменной $x$ приводят к экстремумам данных функций и на каких интервалах они возрастают или убывают. Если у вас остались еще вопросы, не стесняйтесь задавать!