Как доказать, что векторы a и b перпендикулярны друг другу, если известно, что | a-1000b | = | a+1000b

Чтобы доказать, что векторы a и b перпендикулярны друг другу, нам нужно показать, что их скалярное произведение равно нулю. Давайте начнем с заданного условия: | a - 1000b | = | a + 1000b |.

Мы можем записать это векторное уравнение как:

| a - 1000b |² = | a + 1000b |²

Воспользуемся свойствами скалярного произведения и раскроем квадраты модулей в левой и правой частях уравнения. Получим:

(a - 1000b) * (a - 1000b) = (a + 1000b) * (a + 1000b)

Теперь рассмотрим каждое слагаемое в этом уравнении.

Для левой части:

(a - 1000b) * (a - 1000b) = a * a - 1000b * a - 1000a * b + 1000²b * b
= a * a - 2 * 1000a * b + 1000²b * b

Аналогично, для правой части:

(a + 1000b) * (a + 1000b) = a * a + 1000b * a + 1000a * b + 1000²b * b
= a * a + 2 * 1000a * b + 1000²b * b

Так как левая и правая части уравнения равны (по условию), мы можем записать:

a * a - 2 * 1000a * b + 1000²b * b = a * a + 2 * 1000a * b + 1000²b * b

Здесь мы видим, что все слагаемые скалярных произведений умноженные на 1000 и 1000² сокращаются друг с другом:

- 2 * 1000a * b = 2 * 1000a * b

Теперь остается только одно слагаемое:

a * a = a * a

Таким образом, мы видим, что все слагаемые в уравнении сокращаются, и остается только равенство:

0 = 0

Это значит, что векторы a и b перпендикулярны друг другу, так как их скалярное произведение равно нулю, что и нужно было доказать.

Надеюсь, это объяснение понятно и полезно для вас! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задать их. Я всегда готов помочь!