Известно, что проведена касательная АВ из точки А, которая не лежит на окружности, а также секущая АК, которая

Чтобы найти длину отрезка АР и АК, мы можем использовать некоторые особенности касательных и секущих окружностей.

Длина секущей, проходящей через точку А, равняется произведению длины АК на длину КР. Дано, что АК : КР = 1 : 3, и известна длина КР. Найдем длину АК, используя пропорцию:

АК : КР = 1 : 3

Таким образом, длина АК будет составлять одну четверть от длины КР:

АК = \(\frac{1}{4}\) * длина КР

Теперь нам нужно найти длину отрезка АР. Рассмотрим треугольник АРК, где АК является одной из сторон. Поскольку АК и КР - это отрезки секущей, проходящей через окружность, мы можем использовать теорему о касательной и секущей.

Согласно этой теореме, произведение длин отрезков АК и КР равно произведению длины касательной АВ на длину секущей АК:

АК * КР = АВ^2

Заменим значение АК на \(\frac{1}{4}\) * длина КР:

\(\frac{1}{4}\) * длина КР * КР = АВ^2

Упростим:

\(\frac{1}{4}\) * длина КР^2 = АВ^2

Теперь найдем АВ, возведя обе части уравнения в квадрат и извлекая квадратный корень:

АВ = \(\sqrt{\frac{1}{4} * длина КР^2}\)

АВ = \(\frac{1}{2}\) * длина КР

Таким образом, длина отрезка АР равна половине длины КР:

АР = \(\frac{1}{2}\) * длина КР

Чтобы найти длину отрезка АК, мы уже знаем, что АК равняется одной четверти длины КР:

АК = \(\frac{1}{4}\) * длина КР

Таким образом, мы нашли длину отрезка АР и АК, используя заданные отношения между отрезками АК и КР.