В треугольнике АВС, пересекаются медианы АК и ВL в точке М. Пусть Р - точка на отрезке АМ, равноудаленная

Для начала, чтобы решить эту задачу, давайте вспомним некоторые свойства медианы треугольника.

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Одно из основных свойств медианы заключается в том, что медианы треугольника делятся точкой их пересечения в отношении 2:1. Это означает, что отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой пересечения медиан, делится таким образом, что его длина от вершины до точки пересечения равна двум частям от них до точки пересечения.

Теперь мы знаем, что точка М - это точка пересечения медиан АК и ВL. Поэтому мы можем использовать это свойство медиан и отношение 2:1 для того, чтобы выразить отрезки АМ и МВ через отрезки АК и ВL, соответственно.

Пусть отрезок АМ равен 2x, тогда отрезок ММ из B будет равен х.

Теперь давайте рассмотрим выпуклый треугольник PCQ, площадь которого равна 10.

Треугольники PCQ и ABC подобны, так как соответствующие углы равны (так как углы при вершинах P, C и Q, A соответственно, составлены медианами).

Из свойств подобных треугольников мы знаем, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату отношения их длин сторон.

Таким образом, площадь треугольника PCQ равна отношению площадей треугольников ABC и PCQ, возведенному в квадрат.

Мы уже знаем, что площадь треугольника PCQ равна 10, поэтому мы можем записать следующее уравнение:

\[\frac{S_{ABC}}{S_{PCQ}} = \left(\frac{AB}{PC}\right)^2\]

Так как у нас уже есть отношение площадей треугольников, давайте найдем отношение длин сторон ABC и PCQ.

Из свойства медианы, известно, что AM и MM делятся в соотношении 2:1, поэтому AM равно 2x и MM равно x.

Теперь, чтобы получить отношение сторон AB и PC, нам нужно их выразить через отрезки AM и MM.

Так как AM равно 2x, а АВ равно 3AM (так как М — точка пересечения медиан и они делятся в отношении 2:1), то АВ равно 3*2x = 6x.

Аналогично, так как MM равно x, а СQ равно 2MM (так как М — точка пересечения медиан и они делятся в отношении 2:1), то СQ равно 2*x = 2x.

Теперь у нас есть отношение сторон AB и PC:

\(\frac{AB}{PC} = \frac{6x}{2x} = 3\)

Теперь мы можем записать уравнение для площадей треугольников:

\[\frac{S_{ABC}}{10} = 3^2\]

\[\frac{S_{ABC}}{10} = 9\]

Теперь, чтобы найти площадь треугольника ABC, мы можем умножить обе стороны уравнения на 10:

\[S_{ABC} = 10 \cdot 9 = 90\]

Поэтому площадь треугольника АВС равна 90.