Измените формулировку вопросов так, чтобы сохранить их смысл и объем: Номер 1. Что является правильной треугольной

Номер 1. Рассмотрим треугольную призму ABCA1B1C1 с высотой 4 и расстоянием между ребрами АА1 и BC, равным 3 корень из 3. Чтобы найти площадь боковой поверхности призмы, нам нужно узнать длину бокового ребра и периметр основания.

Для определения длины бокового ребра мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике ABC. Треугольник ABC - прямоугольный треугольник, где нам известны катеты AC и АА1, равные 3 корень из 3, и 4 соответственно. Чтобы найти длину бокового ребра, мы должны вычислить гипотенузу треугольника ABC.

Воспользуемся формулой для длины гипотенузы треугольника:

\[c = \sqrt{a^2 + b^2}\]

Где c - гипотенуза, a и b - катеты треугольника.

Подставим значения катетов в формулу:

\[c = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 4^2} = \sqrt{27 + 16} = \sqrt{43}\]

Таким образом, длина бокового ребра призмы равна \(\sqrt{43}\).

Чтобы найти площадь боковой поверхности призмы, мы умножаем периметр основания на высоту призмы. Поскольку основание призмы - треугольник ABC, его периметр равен сумме длин сторон треугольника.

Вычислим периметр треугольника ABC:

\[P = AB + BC + AC\]

Учитывая, что все стороны треугольника равны \(\sqrt{43}\), получаем:

\[P = \sqrt{43} + \sqrt{43} + 3\sqrt{3} = 2\sqrt{43} + 3\sqrt{3}\]

Итак, площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания и высоты призмы:

\[S = P \times h = (2\sqrt{43} + 3\sqrt{3}) \times 4 = 8\sqrt{43} + 12\sqrt{3} \approx 64.58 + 20.78 \approx 85.36\]

Таким образом, площадь боковой поверхности треугольной призмы ABCA1B1C1 равна примерно 85.36 (единицы площади).

Номер 2. Рассмотрим прямую четырехугольную призму ABCDA1B1C1D1 с основанием в форме ромба ABCD, где сторона ромба равна 5, а диагональ AC равна 8. Высота призмы равна 12. Для нахождения тангенса угла наклона плоскости AB1C к плоскости основания, нам потребуется найти высоту треугольника ABC и длину бокового ребра призмы.

Для определения высоты треугольника ABC мы можем использовать формулу для площади ромба:

\[S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}\]

Где S - площадь ромба, \(d_1\) и \(d_2\) - его диагонали.

Подставим известные значения диагонали AC и стороны ромба ABCD:

\[S = \frac{8 \cdot 5}{2} = 20\]

Таким образом, площадь ромба ABCD равна 20.

Чтобы найти высоту треугольника ABC, мы можем использовать формулу для площади треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\]

Где S - площадь треугольника, a - длина основания треугольника, h - высота треугольника.

Подставим значение площади ромба ABCD и длину основания треугольника ABC:

\[20 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot h\]

Сократим:

\[40 = 5h\]

Далее решим уравнение относительно h:

\[h = \frac{40}{5} = 8\]

Таким образом, высота треугольника ABC равна 8.

Чтобы найти длину бокового ребра призмы, мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике ABC. Треугольник ABC - прямоугольный треугольник, где нам известны катеты AC и BC, равные 8 и 5 соответственно. Чтобы найти длину бокового ребра, мы должны вычислить гипотенузу треугольника ABC.

Воспользуемся формулой для длины гипотенузы треугольника:

\[c = \sqrt{a^2 + b^2}\]

Где c - гипотенуза, a и b - катеты треугольника.

Подставим значения катетов в формулу:

\[c = \sqrt{8^2 + 5^2} = \sqrt{64 + 25} = \sqrt{89}\]

Таким образом, длина бокового ребра призмы равна \(\sqrt{89}\).

Для нахождения тангенса угла наклона плоскости AB1C к плоскости основания, мы можем использовать соотношение между высотой призмы и высотой грани призмы.

Тангенс угла наклона плоскости AB1C к плоскости основания равен отношению высоты грани треугольной призмы к длине бокового ребра:

\[\tan \angle AB1C = \frac{h_{\text{грани}}}{l}\]

Подставим известные значения высоты грани и длины бокового ребра призмы:

\[\tan \angle AB1C = \frac{12}{\sqrt{89}}\]

Таким образом, тангенс угла наклона плоскости AB1C к плоскости основания призмы равен \(\frac{12}{\sqrt{89}}\).