Из партии, состоящей из 10 шприцов, случайным образом извлекают 2 шприца для проверки, среди которых 3 шприца являются

Для решения этой задачи нам потребуется применить понятие вероятности. По определению, вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов.

Для начала давайте определим общее число возможных исходов. Изначально у нас есть 10 шприцов, и мы извлекаем из них 2 шприца для проверки. Количество способов выбрать 2 шприца из 10 равно комбинации из 10 по 2:

\[\binom{10}{2} = \frac{10!}{2! \cdot (10-2)!} = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45.\]

Теперь рассмотрим событие А - оба извлеченных шприца являются бракованными. У нас изначально есть 3 бракованных шприца, и мы извлекаем 2 шприца из 10. Количество способов выбрать 2 бракованных шприца из 3 равно комбинации из 3 по 2:

\[\binom{3}{2} = \frac{3!}{2! \cdot (3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{3}{1} = 3.\]

Теперь рассмотрим событие В - ровно один извлеченный шприц является бракованным. Обратите внимание, что это событие может произойти в двух различных случаях: когда первый шприц извлеченный является бракованным, а второй - небракованным, или наоборот.

Для первого случая, количество способов выбрать 1 бракованный шприц из 3 и 1 небракованный шприц из 7 равно произведению комбинации из 3 по 1 и комбинации из 7 по 1:

\[\binom{3}{1} \cdot \binom{7}{1} = \frac{3!}{1! \cdot (3-1)!} \cdot \frac{7!}{1! \cdot (7-1)!} = 3 \cdot 7 = 21.\]

Для второго случая, также имеем 2 возможных способа выбрать 1 бракованный шприц из 3 и 1 небракованный шприц из 7, следовательно количество способов выбрать второй шприц равно также 21.

Таким образом, общее количество благоприятных исходов для события В равно 21 + 21 = 42.

Теперь можем найти вероятности событий А и В. Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов.

Для события А:

\[P(A) = \frac{\text{число благоприятных исходов для А}}{\text{общее число возможных исходов}} = \frac{3}{45} = \frac{1}{15}.\]

Для события В:

\[P(B) = \frac{\text{число благоприятных исходов для В}}{\text{общее число возможных исходов}} = \frac{42}{45} = \frac{14}{15}.\]

Таким образом, вероятность события А равна \(\frac{1}{15}\), а вероятность события В равна \(\frac{14}{15}\).