Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы: а) Проведите анализ монотонности и экстремумов функции

Для начала рассмотрим функцию а) \(f(x) = (x+1)^2(x-2)\) и ее монотонность.

Шаг 1: Найдем производную \(f"(x)\) функции \(f(x)\), чтобы определить интервалы возрастания и убывания функции.

Используя правило дифференцирования произведения функций, получаем:

\[
f"(x) = 2(x+1)(x-2) + (x+1)^2 = 4x^2 - 7x - 4
\]

Шаг 2: Решим уравнение \(f"(x) = 0\) чтобы найти критические точки, где функция может иметь экстремумы.

Решим уравнение:

\[
4x^2 - 7x - 4 = 0
\]

Используя метод факторизации или квадратное уравнение, получим два корня: \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 4/4\).

Шаг 3: Изучим знаки производной \(f"(x)\) на интервалах между и вне критических точек.

Для этого построим таблицу знаков, в которой указаны интервалы и соответствующие значения производной:

\[
\begin{array}{c|c|c}
\text{Интервал} & \text{f"(x)} & \text{Знак} \\ \hline
(-\infty, -1) & 4x^2 - 7x - 4 & ? \\
(-1, 4/4) & 4x^2 - 7x - 4 & ? \\
(4/4, +\infty) & 4x^2 - 7x - 4 & ? \\
\end{array}
\]

Шаг 4: Определите интервалы возрастания и убывания функции, и найдите экстремумы.

Чтобы определить интервалы возрастания и убывания, рассмотрим знаки производной в каждом интервале.

Для интервала \((- \infty, -1)\), подставим какое-нибудь значение в производную, например, \(x = -2\) (значение между -\infty и -1):

\[
f"(-2) = 4(-2)^2 - 7(-2) - 4 = 24 > 0
\]

Таким образом, производная положительна на интервале \((- \infty, -1)\), что означает, что функция возрастает на этом интервале.

Для интервала \((-1, 4/4)\), подставим \(x = 0\) (значение между -1 и 4/4):

\[
f"(0) = 4(0)^2 - 7(0) - 4 = -4 < 0
\]

Производная отрицательна на интервале \((-1, 4/4)\), что означает, что функция убывает на этом интервале.

Для интервала \((4/4, + \infty)\), подставим \(x = 5\) (значение больше 4/4):

\[
f"(5) = 4(5)^2 - 7(5) - 4 = 39 > 0
\]

Производная положительна на интервале \((4/4, + \infty)\), что означает, что функция возрастает на этом интервале.

Таким образом, у нас есть следующая информация о функции \(f(x) = (x+1)^2(x-2)\):

1. Функция убывает на интервале \((-1, 4/4)\).
2. Функция возрастает на интервалах \((- \infty, -1)\) и \((4/4, + \infty)\).
3. Функция имеет локальный минимум в точке \(x = -1\), так как производная меняет знак с \(+\) на \(-\) при переходе через точку \(x = -1\).

Теперь рассмотрим вторую функцию б) \(f(x) = 32 \ln x - x^2\) и проведем аналогичный анализ монотонности и экстремумов.

Шаг 1: Найдем производную \(f"(x)\) функции \(f(x)\), чтобы определить интервалы возрастания и убывания функции.

Используя правила дифференцирования для суммы и произведения функций, получаем:

\[
f"(x) = 32 \cdot \frac{1}{x} - 2x
\]

Шаг 2: Решим уравнение \(f"(x) = 0\) чтобы найти критические точки, где функция может иметь экстремумы.

Решение уравнения:

\[
32 \cdot \frac{1}{x} - 2x = 0
\]

Решим это уравнение:

\[
32 - 2x^2 = 0
\]

Делим оба члена на 2:

\[
16 - x^2 = 0
\]

\[
x^2 = 16
\]

\[
x = \pm 4
\]

Таким образом, получаем две критические точки: \(x_1 = -4\) и \(x_2 = 4\).

Шаг 3: Изучим знаки производной \(f"(x)\) на интервалах между и вне критических точек.

Для этого построим таблицу знаков, в которой указаны интервалы и соответствующие значения производной:

\[
\begin{array}{c|c|c}
\text{Интервал} & \text{f"(x)} & \text{Знак} \\ \hline
(0, 4) & 32 \cdot \frac{1}{x} - 2x & ? \\
(4, +\infty) & 32 \cdot \frac{1}{x} - 2x & ? \\
(-\infty, -4) & 32 \cdot \frac{1}{x} - 2x & ? \\
(-4, 0) & 32 \cdot \frac{1}{x} - 2x & ? \\
\end{array}
\]

Шаг 4: Определите интервалы возрастания и убывания функции, и найдите экстремумы.

Для интервала \((0, 4)\), подставим \(x = 1\) (значение между 0 и 4):

\[
f"(1) = 32 \cdot \frac{1}{1} - 2(1) = 30 > 0
\]

Производная положительна на интервале \((0, 4)\), что означает, что функция возрастает на этом интервале.

Для интервала \((4, +\infty)\), возьмем \(x = 5\) (значение больше 4):

\[
f"(5) = 32 \cdot \frac{1}{5} - 2(5) = 6 > 0
\]

Производная положительна на интервале \((4, +\infty)\), что означает, что функция возрастает на этом интервале.

Для интервала \((-\infty, -4)\), возьмем \(x = -5\) (значение меньше -4):

\[
f"(-5) = 32 \cdot \frac{1}{-5} - 2(-5) = -6 < 0
\]

Производная отрицательна на интервале \((-\infty, -4)\), что означает, что функция убывает на этом интервале.

Для интервала \((-4, 0)\), возьмем \(x = -1\) (значение между -4 и 0):

\[
f"(-1) = 32 \cdot \frac{1}{-1} - 2(-1) = -34 < 0
\]

Производная отрицательна на интервале \((-4, 0)\), что означает, что функция убывает на этом интервале.

Таким образом, у нас есть следующая информация о функции \(f(x) = 32 \ln x - x^2\):

1. Функция возрастает на интервалах \((0, 4)\) и \((4, + \infty)\).
2. Функция убывает на интервалах \((-\infty, -4)\) и \((-4, 0)\).
3. Функция имеет локальный максимум в точке \(x = 4\) и локальный минимум в точке \(x = -4\), так как производная меняет знак с \(-\) на \(+\) при переходе через точку \(x = -4\) и с \(+\) на \(-\) при переходе через точку \(x = 4\).

Это максимально подробное объяснение анализа монотонности и экстремумов для данных функций. Если у вас возникнут какие-либо вопросы или требуется более подробное объяснение, пожалуйста, сообщите мне!