Is it possible to rewrite the inequality log(6-8x^2)(36-64x^4) ≤ 2 + 1/(6-8x^2), while maintaining its meaning

Конечно, давайте решим эту задачу подробно.

Имеем неравенство \(\log((6-8x^2)(36-64x^4)) \leq 2 + \frac{1}{6-8x^2}\).

Для начала, заметим, что область допустимых значений определенного логарифма - это положительные числа. Поэтому нам необходимо убедиться, что выражение \((6-8x^2)(36-64x^4)\) неотрицательно.

Для этого разберем выражение \((6-8x^2)(36-64x^4)\) на множители:

\((6-8x^2)(36-64x^4) = (6-8x^2)(6-8x^2)(6+8x^2)(6-8x^2)\).

Мы видим, что вот эти два множителя справа и слева от знака "≤" в исходном неравенстве просто повторяют друг друга дважды. То есть мы можем записать это неравенство, не потеряв его значения и объема, следующим образом:

\((6-8x^2)(6-8x^2)(6+8x^2)(6-8x^2) \leq 2 + \frac{1}{6-8x^2}\).

Заметим также, что \(6-8x^2\) является общим множителем в каждой скобке. Это позволяет нам сократить общий множитель и получить следующее неравенство:

\((6-8x^2)^2(6+8x^2) \leq 2 + \frac{1}{6-8x^2}\).

Если внимательно рассмотреть правую сторону неравенства, можно заметить, что оно содержит дробь \(\frac{1}{6-8x^2}\), а значит \(6-8x^2\) не может быть равно нулю, так как деление на ноль запрещено. Поэтому у нас остается следующее неравенство:

\((6-8x^2)^2(6+8x^2) \leq 2 + \frac{1}{6-8x^2}, \quad 6-8x^2 \neq 0\).

Таким образом, мы переписали исходное неравенство, сохраняя его значимость и объем, и учли ограничение \(6-8x^2 \neq 0\).