Имеется система m линейных уравнений с n неизвестными. Пусть ранг матрицы этой системы равен k, а ранг расширенной

Для того чтобы ответить на вопрос, рассмотрим каждое утверждение по отдельности:

a) Если \(n > m\), то система гарантированно имеет хотя бы одно решение.

Это утверждение верно. Если количество неизвестных (\(n\)) больше количества уравнений (\(m\)), то существуют свободные переменные, что гарантирует наличие хотя бы одного решения для системы линейных уравнений. Это объясняется тем, что в таком случае матрица системы не может иметь полного ранга.

б) Если \(m > n\), то система не имеет решений.

Это утверждение не всегда верно. Если количество уравнений (\(m\)) больше количества неизвестных (\(n\)), то система может иметь решения, но не всегда. Например, если система содержит противоречивые уравнения, то она будет несовместной и не будет иметь решений. Однако, если все уравнения совместны, система может иметь одно или бесконечное множество решений.

в) Если система имеет хотя бы одно решение, то \(p\) должно быть равным \(k\).

Это утверждение верно. Ранг расширенной матрицы (\(p\)) системы должен быть равен рангу матрицы самой системы (\(k\)), если система имеет хотя бы одно решение. Это связано с тем, что ранг расширенной матрицы показывает количество линейно независимых уравнений системы.

г) Если \(p\) равно \(k\) и \(n > k\), то у системы есть бесконечное множество решений.

Это утверждение верно. Если ранг расширенной матрицы (\(p\)) равен рангу матрицы системы (\(k\)) и количество неизвестных (\(n\)) больше ранга, то система будет иметь бесконечное множество решений. В этом случае, существуют свободные переменные, которые могут принимать любые значения, что приводит к бесконечному количеству решений.

В итоге, верными являются утверждения a), в) и г). Утверждение б) не всегда верно, поэтому выбираем ответы: a), в), г).