How can I solve the equation 1-4x/4x+1 = 12/1-16x^2 + 1+4x/4x-1?

Хорошо, чтобы решить данное уравнение, мы сначала приведем его к общему знаменателю и упростим выражения.

Начнем с приведения уравнения к общему знаменателю. В данном случае общим знаменателем будет \(4x(4x+1)(4x-1)(1-16x^2)\).

Умножим оба числителя и знаменателя первой дроби на \((4x)(4x+1)(4x-1)(1-16x^2)\), а второй дроби — на \(4x\).

После раскрытия скобок и сокращения, получим следующее:

\[
(1-4x)(4x)(4x-1)(1-16x^2) = 12(4x)(1-16x^2) + (1+4x)(4x)(4x+1)
\]

Далее, мы раскроем скобки:

\[
(1)(4x)(4x-1)(1-16x^2) - (4x)(4x)(4x-1)(1-16x^2) = 48x(1-16x^2) + (1)(4x)(4x+1)(4x)
\]

Продолжим упрощать выражения:

\[
4x(4x-1)(1-16x^2) - 16x^2(4x-1)(1-16x^2) = 48x - 768x^3 + 16x(16x^2-1)
\]

Теперь приведем подобные слагаемые:

\[
4x(4x-1)(1-16x^2-16x^2) = 48x - 768x^3 + 16x(16x^2-1)
\]

Сократим подобные слагаемые:

\[
4x(4x-1)(1-32x^2) = 48x - 768x^3 + 16x(16x^2-1)
\]

Распишем второе слагаемое:

\[
4x(4x-1)(1-32x^2) = 48x - 768x^3 + 16x(16x^2) - 16x
\]

Затем снова приведем подобные слагаемые:

\[
4x(4x-1)(1-32x^2) = 48x + 16x(16x^2) - 16x - 768x^3
\]

Уберем лишние слагаемые:

\[
4x(1-32x^2)(4x-1) = - 768x^3 + 48x - 16x
\]

Теперь упростим выражение и приведем подобные слагаемые:

\[
4x(1-32x^2)(4x-1) = - 768x^3 + 32x - 16x
\]

Вынесем общий множитель:

\[
4x(1-32x^2)(4x-1) = - 16x(48x^2 - 2) = - 16x(24x - \sqrt{2})(24x + \sqrt{2})
\]

Таким образом, получили, что уравнение \(1 - \frac{{4x}}{{4x+1}} = \frac{{12}}{{1-16x^2 + 1+\frac{{4x}}{{4x-1}}}}\) равносильно уравнению \(4x(24x - \sqrt{2})(24x + \sqrt{2}) = - 16x(48x^2 - 2)\).

Получившееся уравнение можно еще дальше упростить или решить, но, возможно, это уже лишь дело дальнейших действий в контексте того, для чего данное уравнение задано.