Если сторона AB делится точкой С на отрезки АС и СВ в отношении 7:1, а точка О делит отрезок СВ в отношении 3:2

Пусть площадь треугольника АСВ равна S. Для начала, нам нужно найти отношение длин отрезков АС и СВ. По условию задачи, они делятся в отношении 7:1.

Таким образом, если длина отрезка АС равна 7x, то длина отрезка СВ будет равна x.

Затем, в условии задачи говорится, что отрезок СВ делится точкой О в отношении 3:2.

Это значит, что если длина отрезка СВ равна x, то длина отрезка ОВ будет равна $\frac{3}{5}x$, а длина отрезка СО будет равна $\frac{2}{5}x$.

Теперь, чтобы найти площадь треугольника АОВ, нам нужно знать длины его сторон. Мы уже знаем длину отрезка ОВ ($\frac{3}{5}x$), а длину отрезка АО нужно найти.

Так как отрезок АС делится точкой С на отрезки АС и СВ в отношении 7:1, то длина отрезка АС равна 7x.

Теперь мы можем найти длину отрезка АО, вычитая длину отрезка ОС из длины отрезка АС:

Длина отрезка АО = Длина отрезка АС - Длина отрезка ОС = 7x - $\frac{2}{5}x$ = $\frac{33}{5}x$

Таким образом, мы нашли длины всех сторон треугольника АОВ: АО = $\frac{33}{5}x$, ОВ = $\frac{3}{5}x$, и ВО = $\frac{2}{5}x$.

Теперь мы можем использовать формулу Герона для вычисления площади треугольника по длинам его сторон. Формула Герона выглядит следующим образом:

S = $\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$,

где p - полупериметр треугольника, a, b, c - длины сторон треугольника.

В нашем случае, стороны треугольника АОВ равны АО = $\frac{33}{5}x$, ОВ = $\frac{3}{5}x$, и ВО = $\frac{2}{5}x$. Полупериметр p равен сумме длин всех сторон, деленной на 2:

p = $\frac{1}{2}$(АО + ОВ + ВО) = $\frac{1}{2}$($\frac{33}{5}x+\frac{3}{5}x+\frac{2}{5}x$) = $\frac{19}{5}x$.

Теперь, подставим значения длин сторон и полупериметра в формулу Герона:

S = $\sqrt{\frac{19}{5}x(\frac{19}{5}x-\frac{33}{5}x)(\frac{19}{5}x-\frac{3}{5}x)(\frac{19}{5}x-\frac{2}{5}x)}$

S = $\sqrt{\frac{19}{5}x(\frac{19}{5}x-\frac{33}{5}x)(\frac{19}{5}x-\frac{3}{5}x)(\frac{19}{5}x-\frac{2}{5}x)}$

S = $\sqrt{\frac{19}{5}x(\frac{2}{5}x)(\frac{16}{5}x)(\frac{17}{5}x)}$

S = $\sqrt{\frac{19}{5}\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{16}{5}\cdot \frac{17}{5}\cdot x^4}$

S = $\sqrt{\frac{6464}{625}\cdot x^4}$

S = $\frac{8}{25}{x}^2\sqrt{\frac{101}{2}}$

Таким образом, площадь треугольника АОВ равна $\frac{8}{25}{x}^2\sqrt{\frac{101}{2}}$.